Często mamy do czynienia ze zbiorami, dla których chcielibyśmy znać liczbę elementów. Wygodnie jest, gdy wszystkie elementy są wypisane i można je policzyć. Niekiedy jednak, mając pewien zbiór, budujemy z jego elementów nowe zbiory i chcemy poznać liczbę elementów w tych nowych zbiorach.

       Budując nowe zbiory, musimy ustalić, czy kolejność elementów w nowych zbiorach jest ważna, to znaczy, czy chcemy otrzymać ciągi, czy też kolejność elementów nie ma znaczenia, czyli chcemy otrzymywać podzbiory.

Michał planuje odrabianie pracy domowej. W tym dniu ma do przygotowania tematy z języka polskiego, matematyki i historii. Zastanawia się, w jakiej kolejności uczyć się tych przedmiotów.

Aby lepiej zaplanować pracę, postanowił policzyć, ile ma możliwych ustawień kolejności przedmiotów. Zilustrował ustawianie tych przedmiotów na tzw. „drzewku”, pokazując możliwości ustawień kolejno na pierwszym, drugim i trzecim miejscu.

Widzimy, że jako pierwszy przedmiot Michał może wybrać każdy z zadanych. Ma więc trzy możliwości.

Przy każdym wyborze pierwszego przedmiotu, jako drugi może wybrać jeden z dwóch pozostałych, czyli ma dwie możliwości.

Przy wyborze trzeciego przedmiotu ma tylko jedną możliwość.

Zatem Michał może odrabiać lekcje wybierając kolejność przedmiotów na sposobów.

Odp. sposobów.

Zauważ, że Michał musi odrobić wszystkie lekcje, zatem nie wybiera przedmiotów, tylko zastanawia się, na ile sposobów może je ustawić po kolei.

Ile różnych liczb trzycyfrowych możemy utworzyć z cyfr tak, aby cyfry w nich się nie powtarzały?

Zauważ, że w tym przypadku nie wykorzystujemy wszystkich cyfr jednocześnie. Tworzymy przecież liczby trzycyfrowe, mając do dyspozycji pięć cyfr. Kolejność wybieranych cyfr jest ważna.

Wśród tych cyfr nie ma zera, zatem każda z nich może być pierwszą cyfrą tworzonej liczby. Mamy 5 możliwych cyfr na pierwsze miejsce. Na drugim miejscu możemy umieścić każdą z cyfr, oprócz tej, którą umieściliśmy na pierwszym miejsc, zatem dla każdej cyfry na pierwszym miejscu mamy cztery cyfry do umieszczenia na drugim miejscu. Po ustaleniu cyfr na dwóch pierwszych miejscach, pozostają nam trzy cyfry i na trzecim miejscu może stać każda z nich.

Zatem liczba wszystkich możliwych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach utworzonych z podanych cyfr jest równa .

Odp. liczb.

Powyższy przykład możemy również rozwiązać posługując się metodą „drzewka”.
W podanych przykładach zastosowaliśmy pewną regułę nazywaną regułą (inaczej- zasadą) mnożenia. Przytoczymy teraz jej treść.

Reguła mnożenia

Jeżeli wynik pewnego działania może być otrzymany w kolejnych krokach z wynikami w pierwszym kroku, wynikami w drugim kroku, itd., wynikami w tym kroku, to wynik ten może być otrzymany na

 

sposobów.

Pewna pani dekoruje stół ma przyjęcie gości. Ma do wyboru obrusów, wazony i świeczniki. Ile różnych dekoracji może uzyskać?

Zauważmy, że pani dekorując stół, nakrywa go najpierw obrusem - ma tu możliwości, następnie stawia wazon - ma do wyboru możliwości i stawia świecznik - możliwości.

Stosując regułę mnożenia otrzymujemy możliwych do uzyskania dekoracji stołu.

Odp. dekoracji.

W pewnym małym hotelu znajduje się pokoi. Właściciel hotelu chce oznaczyć pokoje kodem literowym stosując jak najmniej liter. Ile liter wystarczy jeśli:

a) Litery nie będą się powtarzały.

Sprawdzamy, ile różnych kodów otrzymamy stosując trzy litery, gdy nie będą się one powtarzały. Na pierwszym miejscu mamy trzy możliwe litery, na drugim - dwie, które pozostały po wybraniu pierwszej, a na trzecim tylko jedną. Zatem liczba uzyskanych kodów będzie równa .

Jeśli zastosujemy cztery litery, to liczba uzyskanych kodów będzie równa , zatem też nie wystarczy.

Sprawdzamy liczbę możliwych kodów dla pięciu liter otrzymujemy za dużo kodów w stosunku do potrzeb.

a) Litery będą się powtarzały.

Weźmy najpierw trzy litery. Tworząc kod, w którym litery mogą się powtarzać, mamy na pierwszym miejscu trzy możliwości, na drugim i na trzecim też po trzy możliwości. Liczba możliwych kodów będzie więc równa . Zatem gdy litery mogą się powtarzać, dla oznaczenia pokoi wystarczą kody trzyliterowe.

Odp. Litery powinny się powtarzać. kodów trzyliterowych.