MegaMatma: Wartość bezwzględna liczby (R).

Wartość bezwzględna liczby (R).

rozszerzony

Definicja i własności wartości bezwzględnej

Niech będzie dana liczba rzeczywista $a,$ wówczas wartością bezwzględną (inaczej modułem) nazywamy liczbę rzeczywistą $\left|a\right|,$ taką że

$\left|a\right|\buildrel{\rm def}\over=\left\{ \begin{array}{c}<br /> \ \ a\ \ \ \ \ dla\ \ \ a \ge 0, \\<br /> \ \ -a\ \ \ \ \ dla\ \ \ \ a<0. \end{array}<br /> \right.$

Jeśli $a$ jest liczbą nieujemną (tj. jest zerem lub liczbą dodatnią ), to $\left|a\right|$ jest równy liczbie $a,$ np. $\left|0\right|=0,\ \ \left|6\right|=6, \ \ \left|\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}.$

Jeśli $a$ jest liczbą ujemną, to $\left|a\right|$ jest liczbą przeciwną do $a,$ zatem jest liczbą dodatnią, np. $\left|-6\right|=6, \ \ \left|-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}.$

Zauważ, że $\left|-6\right|=6=\left|6\right|, \ \ \left|-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}=\left|<br /> \frac{1}{5}\right|.$

Wniosek.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ mamy

a) $\left|a\right| \ge 0,$

b) $\left|a\right|=\left|-a\right|.$

przykład

Zapisz liczbę nie używając wartości bezwzględnej:

a) $\left|4-\sqrt{7}\right|=4-\sqrt{7\ }$ ponieważ $\ \ \ 2=\sqrt{4}<\sqrt{7\ }<\sqrt{9}=3,$ a zatem $\ \ \ \ 4-\sqrt{7\ }>0,$

b) $\left|2-\pi \right|=-\left(2-\pi \right)=\pi -2,\$ , gdyż $\ \ \ 2-\pi <0,\ \ \pi \approx3,14.$

Twierdzenie 1.

Niech $\ \ a,\ b\in \ R.$ Wówczas:

a) $\left|a\cdot b\right|=\left|a\right|\cdot \left|b\right|,$

b) $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|},$ gdzie $b\ne 0,$

c) $\left|a+b\right| \le \left|a\right|+\left|b\right|,$

d) $\left|a-b\right| \ge \left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|,$

e) $\left|a\right|=\sqrt{a^2.}$

Dowód:
Przeprowadzimy dowód podpunktów b) i c).

Ad b)
Dla $a=0$ wzór jest prawdziwy. Dla $a\ne 0\ \ i\ \ b\ne 0$ rozważymy cztery przypadki.

1. $a>0\ \ i\ \ b>0,\ \$ wówczas $\ \frac{a}{b}>0,\ \$ a więc $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{a}{\ b}=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}.$

2. $a<0\ \ i\ \ b<0,\ \$ wówczas $\frac{a}{b}>0,\ \$ gdyż $\ \ -a>0\ \ i\ \ -b>0,$ zatem

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}.\$

3. $a>0\ \ i\ \ b<0,\ \$ wówczas $\frac{a}{b}<0,\ \ -\frac{a}{b}>0,$ stąd

$\left|\frac{a}{b}\right|=-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}.\$

4. $a<0\ \ i\ \ b>0,\ \$ wówczas $\ \frac{a}{b}<0,\ \ -\frac{a}{b}>0,$ stąd

$\left|\frac{a}{b}\right|=-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}.\$

Ad c) Wzór jest prawdziwy dla $a=0\ \ \$ lub $\ \ b=0.$

Podobnie jak w podpunkcie b) rozważymy cztery przypadki.

1. $a>0\ \ i\ \ b>0,\ \$ wtedy $\ \left|a+b\right|=a+b=\left|a\right|+\left|b\right|.$

2. $a<0\ \ i\ \ b<0,\ \$ wtedy $\ a+b<0\ \ i\ \$ wówczas

$a+b<a-b=a+(-b)=|a|+|b|.$

4. $a<0\ \ i\ \ b>0,$ dowód jest analogiczny do dowodu przedstawionego w 3

poleć znajomemu drukuj

Wartość bezwzględna liczby (R).

Podobne tematy: