MegaMatma: Przesunięcie wykresu funkcji z zastosowaniem wektorów (R).

Przesunięcie wykresu funkcji z zastosowaniem wektorów (R).

rozszerzony

I Przesunięcie równoległe (translacja) i jego własności

Przesunięciem równoległym (translacją) o wektor $\vec {u}=\left[p,\ q\right]$ nazywamy takie przekształcenie geometryczne, które punktowi $A=\left(x_A,\ y_A\right)$ przyporządkowuje punkt $A^'=\left(x_{A'},\ y_{A'}\right)$ taki, że
$\vec {AA'}=\vec {u}.$

Zapisujemy to symbolicznie:

$T_{\vec {u}}\left(A\right)=A^'\Longleftrightarrow \vec {AA'}=\vec {u}$

Wektor $\vec {AA'}$ ma współrzędne $\left[x_{A'}-x_A,\ y_{A'}-y_A\right],$ zaś wektor $\vec {u}=\left[p,\ q\right].$ Wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe współrzędne. Stąd

$\left\{ \begin{array}{l} x_{A'}-x_A=p \\ y_{A'}-y_A=q \end{array} \right.$

wzór
Obrazem punktu $A=\left(x_A,\ y_A\right)$ w translacji o wektor $\vec{u}=\left[p,\ q\right]$ jest punkt $A^'=\left(x_{A'},\ y_{A'}\right):$

$\left\{ \begin{array}{l} x_{A'}=x_A+p \\ y_{A'}=y_A+q \end{array} \right.$

Otrzymujemy więc:

Twierdzenie

Jeśli $A=\left(x_A,\ y_A\right), \vec{u}=\left[p,\ q\right] \ i \ T_{\vec{u}}\left(A\right)=A^', \ to \ A^'=\left(x_A+p,\ y_A+q\right).$

Pokażemy, że w przesunięciu równoległym odległość między obrazami dwóch dowolnych punktów jest taka sama jak odległość miedzy danymi punktami.

Niech $A=\left(x_A,\ y_A\right),\ B=\left(x_B,\ y_B\right)$ będą dowolnymi punktami płaszczyzny, zaś $\vec{u}=\left[p,\ q\right]$ będzie danym wektorem. Obrazami punktów $A,B$ w przesunięciu równoległym o wektor $\vec{u}$ są odpowiednio punkty $A^'=\left(x_A+p,\ y_A+q\right), B^'=\left(x_B+p,\ y_B+q\right).$

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

$\left|A'B'\right|=\sqrt{{\left[\left(x_B+p\right)-\left(x_A+p\right)\right]}^2+{\left[\left(y_B+q\right)-\left(y_A+q\right)\right]}^2}$

$\left|A'B'\right|=\sqrt{{\left(x_B+p-x_A-p\right)}^2+{\left(y_B+q-y_A-q\right)}^2}$

$\left|A'B'\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

$\left|A'B'\right|=\left|AB\right|.$

Przekształcenie geometryczne, w którym odległość między obrazami punktów jest taka sama jak odległość między tymi punktami nosi nazwę izometrii.

Twierdzenie
Przesunięcie równoległe jest izometrią.

Przesunięcie równoległe, jak każda izometria , zachowuje kształt i wymiary przekształcanych figur.

W przesunięciu równoległym:
1. Obrazem odcinka jest odcinek do niego równoległy,
2. Obrazem prostej jest prosta równoległa do danej prostej,
3. Obrazem wielokąta jest wielokąt do niego przystający, itd.

przykład
Znaleźć obraz punktu $A=\left(4,\ -3\right)$ w przesunięciu równoległym o wektor $\vec{u}=\left[3,\ -2\right].$

$A^'=T_{\vec{u}}\left(A\right), \ \ A=\left(4,\ -3\right), \vec{u}=\left[3,\ -2\right], \ p=3,\ q=-2$

Ze wzorów na współrzędne obrazu

$\left\{ \begin{array}{l} x_{A'}=x_A+p \\ y_{A'}=y_A+q \end{array} \right.$

mamy:

$\left\{ \begin{array}{l} x_{A'}=4+3 \\ y_{A'}=-3-2 \end{array} \right.,$

$\left\{ \begin{array}{l} x_{A'}=7 \\ y_{A'}=-5 \end{array} \right.$

Odp. $A^'=\left(7,\ -5\right)$

Ilustracja graficzna

poleć znajomemu drukuj

Przesunięcie wykresu funkcji z zastosowaniem wektorów (R).

Podobne tematy: