MegaMatma: Cz.I. Odległość punktu od prostej. Równanie okręgu i opis koła przy pomocy nierówności. Prosta i okrąg.(R)

Cz.I. Odległość punktu od prostej. Równanie okręgu i opis koła przy pomocy nierówności. Prosta i okrąg.(R)

rozszerzony
I Odległość punktu od prostej

Dana jest prosta $l$ o równaniu ogólnym $Ax+By+C=0$ , gdzie $A^2+B^2\ne 0$ i punkt $P=\left(x_P,\ y_P\right),$ który nie leży na prostej $l$ .

Odległością punktu $P$ od prostej $l$ nazywamy długość odcinka $PQ$ prostopadłego do prostej $l$ i takiego, że $Q\in l$ . Odległość punktu $P$ od prostej $l$ oznaczamy symbolem $d\left(P,l\right)$ . Zatem

$d\left(P,l\right)=\left|PQ\right|$

Obliczymy długość $\left|PQ\right|$ w zależności od współrzędnych punktu $P$ i współczynników równania ogólnego prostej $l$ .

Wektory $\vec {QP}=\left[x_P-x_Q,\ y_P-y_Q\right] \ i \ \left[A,\ B\right]$ są wektorami równoległymi, ponieważ oba są prostopadłe do prostej $l$ . Zatem istnieje taka liczba $k\ne 0,$ że

$\vec {QP}=k\cdot \left[A,\ B\right] \ i \ \left|\vec {QP}\right|=\left|k\right|\cdot \left|\left[A,\ B\right]\right|.$

Pierwsza równość oznacza, że

$\left[x_P-x_Q,\ y_P-y_Q\right]=k\cdot \left[A,\ B\right].$

Obliczymy z niej współrzędne punktu $Q$ w zależności od współrzędnych punktu $P$ i współczynników $A \ i \ B$ . Mamy

$\left\{ \begin{array}{c} x_P-x_Q=k\cdot A \\ y_P-y_Q=k\cdot B \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} x_Q=x_P-k\cdot A \\ y_Q=y_P-k\cdot B \end{array} \right.$

$Q=\left(x_P-k\cdot A,\ y_P-k\cdot B\right).$

Punkt $Q\in l$ . Podstawiając jego współrzędne do równania prostej $l$ , obliczymy $k$ .

$A\cdot \left(x_P-k\cdot A\right)+B\cdot \left(y_P-k\cdot B\right)+C=0$

$A\cdot x_P-k\cdot A^2+B\cdot y_P-k\cdot B^2+C=0$

$A\cdot x_P+B\cdot y_P+C=k\cdot \left(A^2+B^2\right)$

$k=\frac{A\cdot x_P+B\cdot y_P+C}{A^2+B^2}$

Z drugiej równości $\left|\vec{QP}\right|=\left|k\right|\cdot \left|\left[A,\ B\right]\right|,$ po wykorzystaniu wzoru na długość wektora o danych współrzędnych i obliczonej wartości $k$ , otrzymujemy

$\left| \left[A,\ B\right]\right|=\sqrt{A^2+B^2}$

$\left|QP\right|=\left|k\right|\cdot \sqrt{A^2+B^2}$

$\left|QP\right|=\left|\frac{A\cdot x_P+B\cdot y_P+C}{A^2+B^2}\right|\cdot \sqrt{A^2+B^2}$

Po uproszczeniu uzyskujemy wzór na odległość punktu od prostej.

wzór

Jeśli $l:\ Ax+By+C=0 \ i \ P=\left(x_P,\ y_P\right),$ to $d\left(P,\ l\right)=\frac{\left|A\cdot x_P+B\cdot y_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

przykład
Obliczyć odległość punktu $P=\left(5,\ -2\right)$ od prostej $l$ opisanej równaniem $-3x+4y+1=0.$

$l:\ -3x+4y+1=0$

$A=-3,\ \ B=4,\ \ C=1$

$P=\left(5,\ -2\right),\ \ x_P=5,\ \ y_P=-2$

Korzystamy ze wzoru

$d\left(P,l\right)=\frac{\left|A\cdot x_P+B\cdot y_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d\left(P,l\right)=\frac{\left|-3\cdot 5+4\cdot \left(-2\right)+1\right|}{\sqrt{{\left(-3 \right)}^2+4^2}}$

$d\left(P,l\right)=\frac{\left|-15-8+1\right|}{\sqrt{9+16}}$

$d\left(P,l\right)=\frac{\left|-22\right|}{\sqrt{25}}$

$d\left(P,l\right)=\frac{22}{5}$

Odp. $d\left(P,l\right)=4,4$

poleć znajomemu drukuj

Cz.I. Odległość punktu od prostej. Równanie okręgu i opis koła przy pomocy nierówności. Prosta i okrąg.(R)

Podobne tematy: