MegaMatma: Porównywanie potęg.

Porównywanie potęg.

Aby ustalić, która z podanych potęg jest większa porównujemy wykładniki przy takich samych podstawach lub porównujemy podstawy przy takich samych wykładnikach.

reguła

Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie większe od $1,$ to większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik.

Uzasadnij, że
A. prawdziwe są nierówności $4^5>4^2,\ \ \ 4^5>4^0,\ \ \ 3^4>3^2,\ \ \ 5^1<5^3$

B. fałszywe są nierówności $\ 8^2>8^3,\ \ \ 6^2<6^1,\ \ \ 2^4>2^5,\ \ \ 9^0>9^2$

Rozwiązania:

$4^5\underbrace{=}_{ \begin{array}{c} definicja \\ potegi \end{array} }4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=4^2\cdot 4^3=4^2\cdot 64>4^2$

$4^5>1=4^0$

$3^4=81\ \ i\ \ 3^2=9\ \ i\ \ 81>9$ więc $3^4>3^2$

$5<5\cdot 5\cdot 5=5^3$

Odp. Wszystkie nierówności podane w przykładzie A są prawdziwe.

B.
$8^2=8\cdot 8=64\ \ i\ \ 8^3=8\cdot 8\cdot 8=512$ więc $8^3>8^2$

$6^2=6 \cdot 6=36\ \ i\ \ 6^1=6$ więc $6^2>6^1$

$2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\ \ i\ \ 2^5=2^4\cdot 2=32$ więc $2^4<2^5$

$9^0=1<9^2,$ bo $9^2=81$

Odp. Wszystkie nierówności podane w przykładzie B są fałszywe.

reguła

Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie i mniejsze od $1,$ to większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik.

Uporządkuj potęgi od najmniejszej do największej.

${\left(\frac{1}{3}\right)}^2,\ \ {\left(\frac{1}{3}\right)}^0,\ \ {\left(\frac{1}{3} \right)}^4,\ \ {\left(\frac{1}{3}\right)}^3$

${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9$ ;

${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ ;

${\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{81}$ ;

${\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{27}$ ;

Odp. $\frac{1}{9},\ \ 1,\ \ \frac{1}{81},\ \ \frac{1}{27}$

stop

z porównania dwóch ułamków zwykłych o jednakowych licznikach większy jest ten, który ma mniejszy mianownik.

Porządkujemy rosnąco uzyskane ułamki

$\frac{1}{81},\ \ \ \frac{1}{27},\ \ \ \frac{1}{9},\ \ \ 1$

Porządkujemy potęgi

${\left(\frac{1}{3}\right)}^4,\ \ \ {\left(\frac{1}{3}\right)}^3,\ \ \ {\left(\frac{1}{3} \right)}^2,{\ \ \left(\frac{1}{3}\right)}^0$

Odp. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4<{\left(\frac{1}{3}\right)}^3<{\left(\frac{1}{3}\right)}^2<{ \left(\frac{1}{3}\right)}^0$

stop

zapamiętaj, że jeśli wykładniki potęg maleją a podstawy są równe, dodatnie i mniejsze od $1$ np. ułamki $\frac{1}{2}$ ' $\frac{2}{5},$ to potęgi rosną.

poleć znajomemu drukuj

Porównywanie potęg.

Podobne tematy: