MegaMatma: Działania na ułamkach zwykłych i ułamkach dziesiętnych (także okresowych).

Działania na ułamkach zwykłych i ułamkach dziesiętnych (także okresowych).

W wyrażeniu arytmetycznym mogą wystąpić działania: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb. Liczby podane są w postaci: ułamków zwykłych, liczb mieszanych, ułamków dziesiętnych (czyli rozwinięć dziesiętnych skończonych liczb wymiernych) oraz rozwinięć dziesiętnych nieskończonych okresowych liczb wymiernych.

Wszystkie wspomniane liczby są wymierne i przy wykonywaniu działań stosujemy następującą zasadę:

Zamieniamy zapisy liczb tak, aby wykonywać działania na ułamkach zwykłych albo na ułamkach dziesiętnych.

reguła

Reguła zamiany liczb o rozwinięciach okresowych:
Liczby o rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym okresowym o części całkowitej $0,$ a części ułamkowej zapisanej w nawiasie z okresem jak np. $0,(2); \ 0,(32); \ 0,(143)$ zamieniamy na ułamek zwykły wpisując w liczniku liczbę równą okresowi, a w mianowniku liczbę złożoną z tylu dziewiątek ile jest cyfr w liczniku.

W podanych liczbach okresami są: $2, \ 32, \ 143.$

Czyli $0,(2)=\frac{2}{9};\ \ \ 0,(32)=\frac{32}{99};\ \ \ 0,(143)=\frac{143}{999}$

stop

Zapamiętaj!!! $0,(3)=\frac{1}{3};\ \ \ 0,(6)=\frac{2}{3};\ \ \ 0,(9)=1.$
przykład

Przedstaw liczby w postaci ułamków zwykłych lub liczb mieszanych i dodaj te liczby.

$\frac{17}{2};\ \ \ 0,12;\ \ \ 10,025;\ \ \ 21,(3)\;$

$\frac{17}{2} =8\frac{1}{2};\ \ \ 0,12=\frac{12}{100} =\frac{3}{25};\ \ \ 10,025=10\frac{25}{1000} =10\frac{1}{40};\ \ \ 21,(3)=21\frac{1}{3}$

$NWW(2,25,40,3)=600$

$\frac{17}{2} +0,12+10,025+21,(3)=8\frac{1}{2} +\frac{3}{25} +10\frac{1}{40} +21\frac{1}{3} =8\frac{300}{600} +\frac{72}{600} +10\frac{40}{600} +21\frac{200}{600} =39\frac{612}{600} =40\frac{1}{50}$

Odp. Wynik dodawania $40\frac{1}{50}$

stop
możesz przy dodawaniu łączyć liczby aby osobno dodawać ułamki dziesiętne i osobno ułamki zwykłe, ale potem najlepiej ułamek dziesiętny zamienić na zwykły.

Np. $\frac{1}{2} + 0,42 - \frac{1}{3} + 2,(6) - 0, 042 = (0,42 - 0,042) + \frac{1}{2} -\frac{1}{3} +2\frac{2}{3} =$

$=0,378 + (\frac{3}{6} -\frac{2}{6} +2\frac{4}{6} )=0,378+2\frac{5}{6} =\frac{378}{1000} +2\frac{5}{6}=$

$=\frac{189}{500} +2\frac{5}{6}=\frac{567}{1500} +2+\frac{5\cdot 250}{6\cdot 250}=\frac{567}{1500}+2+\frac{1250}{1500}=2+\frac{567+1250}{1500}=2+\frac{1817}{1500} =2+1\frac{317}{1500} =3\frac{317}{1500}$

Ułamek $\frac{317}{1500}$ jest nieskracalny, sprawdź w tabeli liczb pierwszych, że $317$ jest liczbą pierwszą.

przykład
Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego pamiętając o kolejności wykonywania działań.

$11,25 : 5 + 11,(3) \cdot 2,(9) - [(2\frac{3}{4} )\cdot 0+5,4:0,8]$

Podane wyrażenie jest równe (pomóż sobie kalkulatorem) następującemu

$2,25 + 11\frac{1}{3} .[2+0,(9)]-[0+6,75]=2,25 + \frac{34}{3} \cdot 3-6,75=2,25 + \frac{34\cdot 3}{3} - 6,75 =$

$=2,25 + 34 - 6,75 = 36,25 - 6,75 = 29,5$

W kolejności:
- wykonaliśmy dzielenie liczb dziesiętnych
- zamieniliśmy ułamki dziesiętne o rozwinięciach okresowych na ułamki zwykłe
- wykorzystaliśmy $0,(9) = 1$
- wykonaliśmy działania w nawiasach
- zamieniliśmy liczbę mieszaną na ułamek zwykły
- pomnożyliśmy ułamek przez liczbę naturalną
- skróciliśmy ułamek
- wykonaliśmy dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych

stop