MegaMatma: Średnia arytmetyczna i mediana. Dominanta, rozstęp.

Średnia arytmetyczna i mediana. Dominanta, rozstęp.

Jeśli zbierasz pewne dane np. dotyczące udziału koleżanek i kolegów w zawodach sportowych lub przeprowadzasz ankiety dotyczące wycieczek, na które lubią jeździć twoi przyjaciele, to po zdobyciu tych informacji potrzebujesz wyciągnąć wnioski, na podstawie których można będzie zadecydować jaki rodzaj sportu wprowadzić w szkole lub gdzie pojechać na wycieczkę.

Grupa badanych pewnej populacji nazywa się próbą statystyczną i właśnie próbę badamy pod kątem pewnej cechy.

Dane, które zbieramy czy zbierają odpowiednie urzędy nazywamy danymi statystycznymi.
Wnioski, które chcemy uzyskać dobrze jest oprzeć na pewnych miarach zwanych parametrami statystycznymi danych.
Problemami gromadzenia danych, porządkowania ich, analizie i wyciąganiu wniosków zajmuje się nauka zwana statystyką opisową.

Dane statystyczne możemy mieć przedstawione w postaci tabel, diagramów, wykresów, ale wcześniej są przedstawiane w postaci skończonego zbioru liczb.

przykład
Badamy jaki wzrost mają uczennice, a jaki uczniowie klasy drugiej pewnego gimnazjum. Otrzymujemy następujące dane w centymetrach

Dziewczęta: $160,\ 165,\ 158,\ 178,\ 156,\ 160,\ 162,\$ $160,\ 166,\ 156,\ 160,\ 162,\ 165,\ 154,\ 180,\ 166$

Chłopcy: $155,\ 155,\ 149,\ 165,\ 180,\ 159,\$ $155,\ 156,\ 155,\ 162,\ 165,\ 153,\ 160.$

Oblicz średni wzrost dziewcząt, chłopców i wszystkich uczniów.

Krok 1. Ile zebraliśmy danych?

Wszystkich w klasie jest $29$ osób, w tym dziewcząt $16,$ a chłopców $13.$

Krok2. Obliczamy średnią w każdym przypadku.

Wartością średnią n danych $x_1, x_2, \dots , x_n$ nazywamy sumę tych liczb podzieloną przez $n$

$\overline{x} = \frac{x_1{+x}_2{+\ \dots +x}_n}{n}$

stop

obliczasz wartość średnią czyli krótko średnią danych statystycznych dodając podane liczby i dzieląc sumę przez liczbę tych danych. Obliczamy średnie dla każdego zestawu danych:

Dziewczęta:

$\ \overline{x}\ = \ \frac{154+2\cdot 156+158+4\cdot 160+2\cdot 162+2\cdot<br /> 165+2\cdot 166+178+180}{16}=\frac{2608}{16}=163\ [cm]$

Chłopcy:

$\ \overline{x}\ = \ \frac{149+153+4\cdot 155+156+159+160+162+2\cdot 165+178}{13}=<br /> \frac{2067}{13}=159\ [cm]$

Wszyscy:

$\ \overline{x}\ = \ \frac{2608+2067}{29}=\frac{4675}{29}\approx 161,20\ [cm]$

stop
w licznikach przy dodawaniu kolejnych danych można zamiast powtarzać składnik np. $160$ cztery razy pisać wielokrotność tego składnika czyli $4\cdot 160$

Odp. W klasie dziewczęta mają średnio wzrost $163$ cm, chłopcy $159$ cm, a średni wzrost wszystkich jest $161$ cm $20$ mm.

Korzystając z danych w przykładzie 1. określ mediany dla każdego zestawu.

Krok 1. Porządkujemy dane od najmniejszej do największej.

Dziewczęta:

$154, \ 156, \ 156, \ 158, \ 160, \ 160, \ 160, \ 160, \$ $162, \ 162, \ 165, \ 165, \ 166, \ 166, \ 178, \ 180$

Chłopcy:

$149, \ 153, \ 155, \ 155, \ 155, \ 155, \ 156, \$ $159, \ 160, \ 162, \ 165, \ 165, \ 178$

Wszyscy:

$149, \ 153, \ 154, \ 155, \ 155, \ 155, \ 155, \ 156, \ 156, \ 156, \ 158,$ $\ 159, \ 160, \ 160, \ 160, \ 160, \ 160, \ 162, \$ $162, \ 162,\ 165, \ 165, \ 165, \ 165, \ 166, \ 166, \ 178, \ 178, \ 180$

Krok 2. Ustalamy medianę (wartość środkową) dla każdego zestawu danych.

Medianę $M$ danych $x_1, x_2, \dots , x_n$ obliczamy po ich uporządkowaniu.

Mediana jest liczbą podaną na pozycji środkowej, gdy danych jest nieparzysta ilość,

$M=\ x_{\frac{n+1}{2}}\ .$

Jeśli liczba danych jest parzysta wtedy mediana jest równa średniej arytmetycznej liczb stojących na środkowych pozycjach w zestawie danych, $M =\ \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}\$

Obliczymy mediany każdego z podanych zestawów.

Dziewczęta:

$M = \ \frac{160+162}{2}=\frac{322}{2}=161\,$ bo liczba dziewcząt jest parzysta, a z zapisu w kroku 1 widzimy, że liczby zajmujące środkowe miejsca to $160 \ i \ 162$ . Liczba $161$ nie pojawia się wśród danych.

stop

mediana nie musi być liczbą występującą wśród danych statystycznych.

Wniosek 1. Liczba $161$ oznacza, że liczba dziewcząt, które mają wzrost powyżej i poniżej $161$ cm jest taka sama, dokładnie po $8$ osób. Liczba $161$ niewiele różni się od średniej $163$ z przykładu 1., więc zróżnicowanie tych danych jest niewielkie.