MegaMatma: Funkcje trygonometryczne argumentu rzeczywistego i wykresy. Wykresy ze skalą. Nierówności trygonometryczne (R).

Funkcje trygonometryczne argumentu rzeczywistego i wykresy. Wykresy ze skalą. Nierówności trygonometryczne (R).

rozszerzony

Każdej liczbie rzeczywistej $x$ możemy przyporządkować kąt skierowany o mierze $x$ radianów, a temu kątowi $x$ wybraną funkcję trygonometryczną kąta dowolnego.

Np. liczbie rzeczywistej $x=3$ odpowiada kąt skierowany o mierze $3rad=3\cdot {\left(\frac{180}{\pi }\right)}^\circ\approx 3\cdot {57}^\circ{17}^'={171}^\circ{51}^',$

wystarczy skorzystać z definicji funkcji trygonometrycznych kąta i otrzymujemy $sin3,\ cos3,\ tg3\ i\ ctg3.$

Wtedy $x = 3$ jest argumentem każdej z funkcji $sin x, \ cos x, \ tg x, \ ctg x.$

W ten sposób budujemy funkcje trygonometryczne argumentu $x$ rzeczywistego:

$1.\ f\left(x\right)=sinx,\ \ x\in R;$

$2.\ f\left(x\right)=cosx, \ \ x\in R;$

$3.\ f\left(x\right)=tgx,\ \ x\in R\backslash \{x:x=\frac{\pi }{2}+k\cdot \pi ,\ k\in C};\ \$

$4.\ f\left(x\right)=ctgx,\ \ x\in R\backslash \{x:x=k\cdot \pi ,\ k\in C\}$

stop
sprawdź tabelę symboli i oznaczeń matematycznych, zapis { $\left.x:\ x=k\cdot \pi ,\ k\in C\right.$ } czytamy „zbiór tych liczb $x$ , dla których $x=k\cdot \pi \ i\ k$ jest dowolną liczbą całkowitą”.

przykład

Na rysunku zaznaczone jest koło trygonometryczne $k(O, 1)$ , dwa kąty skierowane z wyróżnionymi trójkątami prostokątnymi $OQP \ i \ OQ'P'.$ Ustalimy współrzędne punktów $P\ i\ P'$ przy pomocy funkcji trygonometrycznych podanych kątów.

Prosta $P'Q'$ jest styczną do okręgu w punkcie $Q'.$ Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta w trójkącie prostokątnym $OQ'P'$ otrzymujemy

$tg\frac{\pi }{3}=\frac{|P^'Q^'|}{|OQ^'|}=\frac{|P^'Q^'|}{1}=|P^'Q^'|$

$P^'=\left(1,\ tg\frac{\pi }{3}\right)$

Z trójkąta $OQP$

$sin{\frac{\pi }{6}}=\frac{|PQ|}{1}=\left|PQ\right|\ \ \ \ \ cos{\frac{\pi }{6}=\frac{|OQ|}{1}=|OQ|$

$P=(cos<br /> {\frac{\pi }{6}},\ sin{\frac{\pi }{6}})$

Zauważmy, że dla kątów I. ćwiartki układu współrzędnych zachodzi:

$\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}\Rightarrow sin{\frac{\pi }{6}},$ gdy miara kata rośnie , to wartości funkcji $sinx$ rosną (rzędna $P$ coraz większa)

$\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}\Rightarrow cos{\frac{\pi }{6}}>cos{\frac{\pi }{3}},$ gdy miara kąta rośnie, to wartości funkcji $cos x$ maleją (odcięta $P$ coraz mniejsza)

$\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{3}\Rightarrow tg\frac{\pi }{6}$

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Narysowaliśmy koło o promieniu $1$ i układ współrzędnych. Jak wynika z przykładu 1. wartości funkcji sinus dla kątów I. ćwiartki układu są rzędnymi odpowiednich punktów okręgu.

Na osi $x$ zaznaczamy punkty odpowiadające kątom o miarach $0,\ \frac{\pi }{6},\ \frac{\pi }{4},\ \frac{\pi }{3},\ \frac{\pi }{2}$ i przez punkty widoczne na okręgu, które leżą na końcowych ramionach kątów $\frac{\pi }{6},\ \frac{\pi }{4},\ \frac{\pi }{3}$ prowadzimy proste równoległe do osi $x.$

Zaznaczmy punkty o współrzędnych

$\left(\frac{\pi }{6},\ sin{\frac{\pi }{6}}\right),\ \ \ \left(\frac{\pi }{4},\ sin{\frac{\pi }{4}}\right),\ \ \ (\frac{\pi }{3},\ sin{\frac{\pi }{3}})$ oraz punkty

$\left(0,\ sin0\right)=\left(0,\ 0\right),\ \ \ \left(\frac{\pi }{2},\ sin{\frac{\pi }{2}}\right)=(\frac{\pi }{2},\ 1)$ i rysujemy część sinusoidy.

stop
porównaj rysunek z przykładu 1. z rysunkiem wykresu $y=sinx$ w przedziale $<0,\ \frac{\pi }{2}>,$ długości pionowych odcinków są wartościami funkcji sinus dla odpowiednich kątów.

poleć znajomemu drukuj

Funkcje trygonometryczne argumentu rzeczywistego i wykresy. Wykresy ze skalą. Nierówności trygonometryczne (R).

Podobne tematy: