Wiele zjawisk z otaczającej nas rzeczywistości poddawanych jest badaniom statystycznym. Badania takie obejmować mogą większe lub mniejsze zbiorowości. Jeśli bezpośredniej obserwacji poddaje się całą interesującą z punktu widzenia celu badania zbiorowość, mówimy, że jest to badanie pełne. Dla licznych zbiorowości takie badania są bardzo kosztowne i pracochłonne.

Dlatego też przeprowadza się badania częściowe, poddając bezpośredniej obserwacji tylko pewien podzbiór interesującej nas zbiorowości nazywany próbą (próbką) i przy pomocy odpowiednich metod statystycznych, uogólnia się obserwacje z próby na całą zbiorowość.

Sprawdź tematy ze statystyki do gimnazjum.

Cel badania określa, jakie własności elementów badanej zbiorowości nas interesują, inaczej mówimy, jakie cechy statystyczne podlegają badaniu. Ważnym etapem badania statystycznego jest zebranie danych statystycznych. Dla wielu cech statystycznych otrzymujemy dane w postaci liczb pochodzących z pomiaru, policzenia lub odczytania w odpowiednich publikacjach, np. oceny z przedmiotów szkolnych, wydatki na cele związane z kształceniem dzieci, liczba osób w rodzinie, itp. Podanie wszystkich takich danych, daje wprawdzie pełny, ale mało czytelny obraz zbiorowości ze względu na interesującą nas cechę.

Dlatego wyznacza się wartości pewnych parametrów statystycznych, które dadzą syntetyczny i przejrzysty obraz zbiorowości z punktu widzenia ważnej w tym badaniu cechy.

Czterech uczniów z klasy i pięciu uczniów z klasy przystąpiło do konkursu matematycznego, w którym każdy z uczestników mógł uzyskać od zera do 10 punktów. Uczniowie tych klas uzyskali odpowiednio punktację:

dla klasy        dla klasy

Chcemy ocenić średnią liczbę punktów uczestników konkursu dla każdej z klas oddzielnie. Skorzystamy z wzoru:

Mamy zatem: dla klasy dla klasy

Widzimy, że obie grupy uzyskały taką samą średnią liczbę punktów.

Jeżeli dane statystyczne zapisane są kolejno od najmniejszej do największej (jak w powyższym przykładzie), to mówimy, że zostały przedstawione w szeregu statystycznym prostym, inaczej szeregu szczegółowym.

Podana wyżej metoda obliczania średniej jest niewygodna w sytuacji, gdy mamy większą liczbę obserwacji.

W celu porównania znajomości matematyki w dwóch równoległych klasach maturalnych, przeprowadzono tam identyczny sprawdzian i otrzymano następujące oceny (po uporządkowaniu od najsłabszej do najlepszej):

Klasa A (24 uczniów): 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6.

Klasa B (28 uczniów): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6.

Wyznaczymy średnią arytmetyczną ocen ze sprawdzianu dla każdej z klas. Mamy wiele powtarzających się wyników. W takich sytuacjach, zamiast wypisywać w sumie wielokrotnie te same wartości, mnożymy je przez ich liczbę, to znaczy stosujemy wzór:

Mówimy, że wyznaczamy średnią arytmetyczną ważoną, a liczby   nazywamy wagami. Ich suma oznacza liczbę wszystkich obserwacji.

Krok 1.

Zapiszemy najpierw uzyskane wyniki w tabelce, uwzględniając kolejne oceny i liczbę uczniów z każdej klasy, którzy uzyskali takie oceny.

Krok 2.

Obliczamy średnią arytmetyczną ważoną dla ocen uczniów klasy A:

Średnia wysokość ocen za sprawdzian z matematyki dla uczniów A jest równa 3,33.

Krok 3.

Dla uczniów klasy B otrzymamy średnią:

Średnia wysokość ocen za sprawdzian z matematyki dla uczniów B jest równa 3,39.

Odp. Średnia ocena ze sprawdzianu z matematyki była w obu klasach na zbliżonym i dość niskim poziomie, choć nieco wyższa była dla klasy B.