MegaMatma: Całki wzory.

Całki wzory.

Reguły całkowania

Dla funkcji $f \ i \ g$ całkowalnych w przedziale $X$ i dla $c\in R$

Całka sumy	Całka różnicy
$\int{\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int{f\left(x\right)dx+\int{g<br /> \left(x\right)dx}}}$	$\int{\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int{f\left(x\right)dx-\int{g<br /> \left(x\right)dx}}}$
Całka iloczynu stałej i funkcji	Pochodna całki
$\int{\left[c\cdot f\left(x\right)\right]dx=c\cdot \int{f\left(x\right)dx}}$	${\left(\int{f\left(x\right)dx}\right)}^'=f\left(x\right)$

Całkowanie funkcji

Dla funkcji $f\ i\ g$ mających pochodne $f^'\ i \ g'$ ciągłe w przedziale $X$

Całkowanie przez części

$\int{f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)dx}=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx\ }$

Dla funkcji $f$ ciągłej w przedziale $X$ i dla funkcji $g:\ T{{\stackrel{na}{\longrightarrow}X\ }}$ mającej pochodną $g'$ ciągłą w przedziale $T$

Całkowanie przez podstawienie

$\int{f\left(x\right)dx}=\int{f\left(g\left(t\right)\right)g'\left(t\right)dt},$ gdzie $x=g(t)$

Całki pochodnych funkcji

Dla funkcji $f$ mającej pochodną $f'$ ciągłą w przedziale $X\ i\ C\in R$

Całka pochodnej funkcji

Całka pochodnej logarytmicznej

Całka pochodnej pierwiastka z funkcji

$\int{f'\left(x\right)dx\ =\ f\left(x\right)+C}$

$\int{\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx={ln \left|f\left(x\right)\right|}+C},$

$f\left(x\right)\ne 0$

$\int{\frac{f'\left(x\right)}{2\sqrt{f\left(x\right)}}dx=\sqrt{f\left(x\right)}+C,$

$f\left(x\right)>0$

Całki wybranych funkcji wymiernych i niewymiernych

Dla dowolnych $a,p,q,C\in R,\ \ k\in N_+\backslash \left\{1\right\}\ \ i\ \ \Delta =p^2-4q<0$

$\int{\frac{1}{{\left(x-a\right)}^k}dx=\frac{1}{1-k}\ {\left(x-a\right)}^{1-k}+C}$	$\int{\frac{1}{x^2+px+q}dx=\frac{2}{\sqrt{-\Delta }}\ arctg\frac{2x+p}{\sqrt{-\Delta }}+C}$
$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}dx={ln \left\|x+\sqrt{x^2+a}\right\|}+C}$	$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx={arcsin \frac{x}{\left\|a\right\|}+C,\ \ a\ne 0\ }}$

Całki nieoznaczone - wzory

$\int{0dx=C}$	$\int{\frac{1}{{cos}^2x}dx=tgx+C}$
$\int{adx=ax+C,\ a=const}$	$\int{\frac{1}{{sin}^2x}dx=-ctgx+C}$
$\int{x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}x^{\alpha +1}+C,\ \alpha \ne -1}$	$\int{tgxdx=-{ln \left\|{cos x}\right\|}}+C$
$\int{\frac{1}{x}dx={ln \left\|x\right\|}}+C$	$\int{ctgxdx={ln \left\|{sin x}\right\|}+C}$
$\int{\frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}+C}$	$\int{\frac{1}{a+x}}dx={ln \left\|a+x\right\|}+C$
$\int{a^xdx=\frac{a^x}{1n\ a}+C,\ a>0,\ a\ne 1}$	$\int{\frac{1}{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}{ln \left\|\frac{1+x}{1-x}\right\|}+C$
$\int{e^xdx=e^x+C}$	$\int{\frac{1}{1+x^2}dx=arctgx+C}$
$\int{{sin xdx=-{cos x}+C}}$	$\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx={arcsin x+C}}$
$\int{{cos xdx\ }={sin x\ }+C}$	$\int{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx={ln \left\|x+\sqrt{1+x^2}\right\|}}+C$

Wzory rekurencyjne na całki wybranych funkcji

$\int{{sin}^nxdx=-\frac{1}{n}}{sin}^{n-1}xcos\ x+\frac{n-1}{n}\ \int{{sin}^{n-2}xdx,\ \ n\in N_+}$

$\int{{tg}^nxdx=\frac{1}{n-1}}{tg}^{n-1}x-\int{{tg}^{n-2}xdx,\ \ n\in N_+\backslash \left\{1\right\}}$

$\int{\frac{1}{{\left(1+x^2\right)}^n}dx=\frac{1}{2n-2}\cdot \frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\ \int{\frac{1}{{\left(1+x^2\right)}^{n-1}}dx,\ \ n\in N_+\backslash \left\{1\right\}}}$

$\int{x^n\cdot {cos xdx=x^n\cdot {sin x-n\int{x^{n-1}{sin xdx,\ \ n\in N_+}}}}}$

$\int{x^n\cdot {sin xdx\ }=-x^n\cdot {cos x+n\int{x^{n-1}{cos xdx,\ n\in N_+}}\ }}$

Zastosowania całki oznaczonej

Dla funkcji $f$ w przedziale $\left\langle a;\ b\right\rangle$

Pole figury ograniczonej wykresem funkcji

$P=\int^b_a{\left|f\left(x\right)\right|dx}$

$P$ - pole figury ograniczonej wykresem funkcji ciągłej

$y=f\left(x\right),$ osią $Ox$ i prostymi $x=a\ i\ x=b$

Dla funkcji $f \ i \ g$ ciągłych w przedziale $\left\langle a;\ b\right\rangle$ o wartościach $f\left(x\right)>g\left(x\right)$

Pole figury ograniczonej dwoma wykresami funkcji

$P=\int^b_a{\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx}$

$P$ - pole figury ograniczonej wykresami funkcji ciągłych

$y=f\left(x\right)\ i\ y=g\left(x\right)$ oraz prostymi $x=a\ i\ x=b$

Dla funkcji $f$ mającej ciągłą pochodną $f'$ w przedziale $\left\langle a;\ b\right\rangle$

Długość łuku wykresu funkcji

$l=\int^b_a{\sqrt{1+{\left[f'\left(x\right)\right]}^2\ }}dx$

$l$ - długość łuku $AB$ wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$

Dla funkcji $f$ ciągłej w przedziale $\left\langle a;\ b\right\rangle$ o wartościach $f\left(x\right)>0$

Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej

$x_S=\frac{\int^b_a{x\cdot f\left(x\right)dx}}{\int^b_a{f\left(x\right)dx}}\ \ \ \ y_S=\frac{\int^b_a{{\left[f\left(x\right)\right]}^2dx}}{2\int^b_a{f\left(x\right)dx}}$

$S$ - środek ciężkości figury ograniczonej wykresem funkcji $y=f\left(x\right),$ osią $Ox$ i prostymi $x=a\ i\ x=b$

Dla funkcji $f$ malejącej ciągłą pochodną $f'$ w przedziale $\left\langle a;\ b\right\rangle$ o wartościach $f\left(x\right)\ge 0$

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej

$P_b=2\pi \int^b_a{f\left(x\right)\sqrt{1+{\left[f'\left(x\right)\right]}^2}}dx$

$P_b\$ - pole powierzchni bocznej bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji $y=f\left(x\right),\ \ x\in \left\langle a;\ b\right\rangle ,$ dookoła osi $Ox$

Dla funkcji $f$ ciągłej w przedziale $\left\langle a;b\right\rangle$ o wartościach $f\left(x\right)\ge 0$

Objętość bryły obrotowej

$V=\pi \int^b_a{f^2\left(x\right)dx}$

$V$ - objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji $y=f\left(x\right),\ x\in \left\langle a;\ b\right\rangle,$ dookoła osi $Ox$

poleć znajomemu drukuj

Całki wzory.

Podobne tematy: