MegaMatma: Granica funkcji wzory.

Granica funkcji wzory.

Granice wybranych funkcji, dla $\ a>0,\ \ a\ne 1\ \ i \ \ c\in R$

${\lim_{x\to 0} \frac{{sin x\ }}{x}=1}$	${\lim_{x\to 0} \frac{{tg x\ }}{x}=1}$	${\lim_{x\to 0} \frac{{arc\ sin x\ }}{x}=1}$
${\lim_{x\to 0} \frac{arctg\ x}{x}=1}$	${\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x}={ln a}}$	${\lim_{x\to 0} \frac{{{log}_a \left(x+1\right)\ }}{x}=\frac{1}{{ln a}}}$
${\lim_{x\to \pm \infty } {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e}$	${\lim_{x\to 0} {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e}$	${\lim_{x\to \infty } x^{\frac{1}{x}}=1}$
${\lim_{x\to \pm \infty } {\left(1+\frac{c}{x}\right)}^x=e^c}$	${\lim_{x\to 0} \frac{{\left(1+x\right)}^c-1}{x}=c}$	${\lim_{x\to 0} \frac{{sin cx\ }}{x}=c}$

Symbole używane przy obliczaniu granic

**Symbole oznaczone**
$\infty +\infty =\infty \$	$-\infty -\infty =-\infty$
$c+\infty =+\infty ,\ c\in R$	$c-\infty =-\infty ,\ c\in R$
$c\cdot \infty =\infty ,\ c>0$	$c\cdot \infty =-\infty ,\ c<0$
$\frac{0}{\infty }=0$	$\frac{0}{-\infty }=0$

**Symbole nieoznaczone**
$\infty -\infty$	$-\infty +\infty$
$\frac{\infty }{\infty }$	$\frac{0}{0}$
${\infty }^0$	$0^0$
$1^{\infty }$	$0\cdot \infty$

Reguła de L’Hospitala

Jeśli funkcje $f\ i\ g$ są różniczkowalne w sąsiedztwie $S\left(x_0,\ \delta \right)$

i istnieje granica ${\lim_{x\to x_0} \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}},\ \ \ g{'\left(x\right)}\ne 0,$ to

$\left[{\lim_{x\to x_0} f\left(x\right)=\pm \infty \ \wedge \ }{\lim_{x \to x_0} g\left(x\right)=\pm \infty \ }\right]\Rightarrow \left[{\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ =}{\lim_{x\to x_0} \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\ \ }\right]$

$\left[{\lim_{x\to x_0} f\left(x\right)=\ }{\lim_{x\to x_0} g\left(x \right)=0\ }\right]\Rightarrow \ \left[{\lim_{x\to x_0} \frac{f\left(x\right)}{g \left(x\right)}=\ \ }{\lim_{x\to x_0} \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)} \ \ }\right]$

Twierdzenie jest prawdziwe dla $x_0=\pm \infty$

poleć znajomemu drukuj

Granica funkcji wzory.

Podobne tematy: