MegaMatma: Wektory wzory.

Wektory wzory.

Współrzędne wektora

na prostej $R^1$	na płaszczyźnie $R^2$	w przestrzeni $R^3$

$\vec {AB}=\left[x_B-x_A\right]$	$\vec {AB}=\left[x_B-x_A,y_B-y_A<br /> \right]$	$\vec {AB}=\left[x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A\right]$

Długość wektora

zaczepionego swobodnego

$R^1$	$\|\vec {AB}\|=\|x_B-x_A\|$	$\|\vec {a}\|=\|a_x\|$
$R^2$	$\|\vec {AB}\|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A<br /> \right)}^2}$	$\|\vec {a}\|=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}$
$R^3$	$\|\vec {AB}\|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A<br /> \right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$	$\|\vec {a}\|=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2}$

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny na płaszczyźnie

$\vec {a}=\left[a_1,b_1\right],\ \ \ \vec {b}=\left[a_2,b_2\right]$

$\vec {a}\circ \vec {b}=a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2$

Iloczyn skalarny w przestrzeni

$\vec {a}=\left[a_1,b_1,c_1\right],\ \ \ \vec {b}=\left[a_2,b_2,c_2\right]$

$\vec {a}\circ \vec {b}=a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2+c_1\cdot c_2$

Własności iloczynu skalarnego

$\vec {a}<br /> \circ \vec {b}=\vec {b}\circ \vec {a}$	$\left(\vec {a}\circ \vec {b}=0\right)\Leftrightarrow \left(<br /> \vec {a}=\vec {0}\vee \vec {b}=\vec {0}\vee<br /> \vec {a}\bot \vec {b}\right)$
$\vec {a}\circ \left(\vec {b}+\vec {c}\right)=\vec {a}<br /> \circ \vec {b}+\vec {a}\circ \vec {c}$	$\left(k\cdot \vec {a}\right)\circ \vec {b}=k\cdot \left(\vec {a}<br /> \circ \vec {b}\right)$
$\vec {a}\circ \vec {a}={\left\|a\right\|}^2$	${\left(\vec {a}+\vec {b}\right)}^2={\left\|\vec {a}<br /> \right\|}^2+{\left\|\vec {b}\right\|}^2+2\cdot \left(\vec {a}\circ<br /> \vec {b}\right)$

Współrzędne środka odcinka

Dla punktu $S\in AB\ i\ \vec {AS}=\vec {SB}$

$R^1$		$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}$
$R^2$		$x_S=\frac{x_A+x_B}{2},\ \ y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$
$R^3$		$x_S=\frac{x_A+x_B}{2},\ \ y_S=\frac{y_A+y_B}{2},\ z_S=\frac{z_A+z_B}{2}$

poleć znajomemu drukuj

$R^1$	$\|\vec {AB}\|=\|x_B-x_A\|$	$\|\vec {a}\|=\|a_x\|$
$R^2$	$\|\vec {AB}\|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A<br /> \right)}^2}$	$\|\vec {a}\|=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}$
$R^3$	$\|\vec {AB}\|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A<br /> \right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$	$\|\vec {a}\|=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2}$