MegaMatma: Zbiory liczbowe wzory

Zbiory liczbowe wzory

Oznaczenie zbioru	Nazwa liczby w zbiorze	Działania wykonalne w zbiorze	Relacje
$N = \{0, 1, 2, 3, \dots \}$ $N_+=\{1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$	naturalna naturalna dodatnia	$N$ $+$ dodawanie $\cdot$ mnożenie	$N=\ N_+\cup \{0\}$

$Z=C=\left\{\dots -2,-1,0,1,2,\ \dots \right\}$ $C_+=\{1,\ 2,\ 3\dots \}$ $C_-=\{-1,\ -2,\ -3,\ \dots \}$	całkowita całkowita dodatnia całkowita ujemna	$C$ $+$ dodawanie $\cdot$ mnożenie $-$ odejmowanie	$C=C_+\cup \left\{0\right\}\cup C_-$ $N\subset C$ $N_+=C_+$

$Q=W$ $W_+$ $W_-$	wymierna, można ją zapisać w postaci $\frac{p}{q}, \ p,q\in C,\ q\ne 0$ wymierna dodatnia wymierna ujemna	$W$ $+$ dodawanie $\cdot$ mnożenie $-$ odejmowanie $:$ dzielenie	$W=W_+\cup \{0\}\cup W_-$ $C\subset W$

$NW=IW$ ${NW}_+$ ${NW}_-$	niewymierna, nie można jej zapisać w postaci $\frac{p}{q}, \ p,q\in C,\ q\ne 0$ niewymierna dodatnia niewymierna ujemna	$NW$ żadne	$NW=NW_+\cup {NW}_-$ $NW\cap W=\emptyset$

$R$ $R_+$ $R_-$	rzeczywista rzeczywista dodatnia rzeczywista ujemna	$R$ $+$ dodawanie $\cdot$ mnożenie $-$ odejmowanie $:$ dzielenie	$R=R_+\cup \left\{0\right\}\cup R_-$ $N\subset C\subset W\subset R$ $NW\subset R$

Zapisy liczb naturalnych

Cyfry	System liczbowy	Przykładowe zapisy
$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	dziesiątkowy; dziesiętny	$302={\red 3}\cdot 100+{\red 0}\cdot 10+{\red 2}\cdot 1$
$I, V, X, L, C, D, M$	rzymski	$MCDVII=$ $\red {M+\left(-C+D\right)+V+I+I}$ $1407=$ $1000+\left(-100+500\right)+5+1+1$
$0, \ 1$	dwójkowy; binarny	$10101=$ $\red {1}\cdot 2^4+\red {0}\cdot 2^3+\red {1}\cdot 2^2+$ $\red {0}\cdot 2^1+\red {1}\cdot 2^0$ ${21}_{10}={10101}_2$
$0, 1, 2, 3, 4$	piątkowy	$103=$ $\red {1}\cdot 5^2+\red {0}\cdot 5^1+\red {3} \cdot {\ 5}^0$ ${28}_{10}={103}_5$

Prawa działań arytmetycznych

Dla $\ a,\ b,\ c\in R$

Prawa przemienności	Prawa łączności
$a+b=b+a$ $a\cdot b=b\cdot a$	$\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$ $\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)$
Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania	Prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania
$a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$	$a\cdot \left(b-c\right)=a\cdot b-a\cdot c$
Istnienie elementu neutralnego dodawania	Istnienie elementu neutralnego mnożenia
$0+a=a+0=a$	$1\cdot a=a\cdot 1=a$

Działania na ułamkach zwykłych

Dla $a\in C,\ \ \ \ b,c,d\in C\backslash \left\{0\right\},\ \ \ n,m\in N_+,\ \ \ m\left|a,<br /> \ \ \ \ m\right|\ b\ i\ m>1$

Rozszerzenie ułamka	Skracanie ułamka
$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$	$\frac{a}{b}=\frac{a:m}{b:m}$
Dodawanie ułamków o takim samym mianowniku	Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$	$\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{cd}$
Mnożenie ułamków	Dzielenie ułamków
$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$	$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$
Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną	Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną
$\frac{a}{b}<br /> \cdot n=\frac{a\cdot n}{b}$	$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{n}=\frac{a}{b\cdot n}$

Porównywanie ułamków

Dla $a,\ b,\ c,\ d\in R_+,\ \ \ d<a\ d=$

Szacowanie ułamków

$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b}$	$\frac{a}{b}>\frac{a}{b+c}$	$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b-d}$
$\frac{a}{b}>\frac{a-d}{b}$	$\frac{a}{b}<\frac{a}{b-d}$	$\frac{a}{b}>\frac{a-d}{b+c}$

poleć znajomemu drukuj