MegaMatma: Liczby zespolone wzory

Liczby zespolone wzory

Działania na liczbach zespolonych.

Dla $a,\ b,\ c,d\in R$ i liczb zespolonych $\ z_1=a+ib,\ \ z_2=c+id$

Dodawanie liczb zespolonych	Odejmowanie liczb zespolonych
$z_1+z_2=\left(a+c\right)+i\left(b+d\right)$	$z_1-z_2=\left(a-c\right)+i\left(b-d\right)$
Mnożenie liczb zespolonych	Dzielenie liczb zespolonych
$z_1\cdot z_2=\left(ac-bd\right)+i\left(ad+bc\right)$	$z_1:z_2=\frac{ac+bd}{d^2+d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\ ,\ \ c^2+d^2>0$

Sprzężenie liczby zespolonej

$\overline{z}=x-iy=RE\ z-iIm\ z$

Własności sprzężenia liczby zespolonej

$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$

$\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$

$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\ \overline{z_2}$

$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\<br /> ,\ \ \ z_2\ne \left(0;0\right)$

Moduł liczby zespolonej

$|z|=|x+iy|=\sqrt {x^2+y^2}$

Własności modułu liczby zespolonej

$\left\|z_1z_2\right\|=\left\|z_1\right\|\left\|z_2\right\|$	$\left\|\frac{z_1}{z_2}\right\|=\frac{\|z_1\|}{\|z_2\|} \ ,\ \ z_2\ne \left(0;0<br /> \right)$
$\left\|z_1+z_2\right\|\le \left\|z_1\right\|+\left\|z_2\right\|$	$\left\|z_1+z_2\right\|\ge \left\|\left\|z_1\right\|-\left\|z_2\right\|\right\|$
$\left\|\overline{z}\right\|=\left\|z\right\|$	$z\overline{z}=\|z\|^2$

Własności argumentu liczby zespolonej różnej od zera

${arg \left(z_1\cdot z_2\right)\ }={arg z_1+\ }{arg z_2\ }$	${arg \frac{z_1}{z_2}={arg z_1-{arg z_2\ ,\ \ z_2\ne \left(0;0\right)\ }\ }\ }$
${arg<br /> z^k=k\cdot {arg z,\ \ k\in C}\ }$	${arg \frac{1}{z}=-{arg z}},\ \ z\ne \left(0;0\right)$

Potęga liczby zespolonej (wzór de Moivre’a)

${\left[\left|z\right|\left({cos\phi \ }+i{sin\phi \ }\right)\right]}^n={\left|z\right|}^n<br /> \left({cos\phi \ }+i{sin\phi \ }\right),\ \ \ n\in C$

Pierwiastek liczby zespolonej

$w^n=z\ i\ z=\left|z\right|\left({cos\phi }+i{sin \phi}\right),\ \ z\ne \left(0;0\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow$

$w_k=\sqrt[n]{\left|z\right|}\ \ \left(cos{\frac{\phi +2k\pi}{n}} +isin \frac{\phi +2k\pi}{n} \right),\ \ k\in \left\{0,1,\dots ,n-1\right\}$

poleć znajomemu drukuj

$\left\|z_1z_2\right\|=\left\|z_1\right\|\left\|z_2\right\|$	$\left\|\frac{z_1}{z_2}\right\|=\frac{\|z_1\|}{\|z_2\|} \ ,\ \ z_2\ne \left(0;0<br /> \right)$
$\left\|z_1+z_2\right\|\le \left\|z_1\right\|+\left\|z_2\right\|$	$\left\|z_1+z_2\right\|\ge \left\|\left\|z_1\right\|-\left\|z_2\right\|\right\|$
$\left\|\overline{z}\right\|=\left\|z\right\|$	$z\overline{z}=\|z\|^2$

Liczby zespolone wzory

Podobne tematy: