W wielu sytuacjach życiowych mamy do czynienia z funkcjami, np. w statystyce gdy podana jest tabela z danymi statystycznymi, to określa ona pewne przyporządkowanie, wg którego każdemu elementowi jednego zbioru odpowiada element należący do drugiego zbioru.

Definicja

Funkcją odwzorowującą zbiór w zbiór nazywamy takie przyporządkowanie, według którego każdemu elementowi należącemu do zbioru odpowiada dokładnie jeden element należący do zbioru

- argument funkcji
lub - wartość funkcji
- dziedzina funkcji
- przeciwdziedzina funkcji
- zbiór wartości funkcji

Zapisujemy funkcje małymi literami

- funkcja odwzorowujaca zbiór w zbiór
- funkcja odwzorowuje zbiór na zbiór
- zapis funkcji używany przy wykresie

Dane jest odwzorowanie: każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowujemy jej kwadrat. Podaj dziedzinę i zbiór wartości oraz zapisz tę funkcję.

Zauważ, że podane zdanie spełnia warunki definicji funkcji, gdyż dowolnej liczbie naturalnej odpowiada dokładnie jedna liczba, która jest jej kwadratem. Użyty został zapis słowny funkcji.

Rozwiązanie.

- liczba naturalna,
- wartość funkcji dla argumentu

Zapisujemy funkcję w postaci wzoru

Jest to ciąg liczbowy, który zapisujemy również

Dziedzina

Przeciwdziedzina

Zbiór wartości

Często funkcję zapisujemy w postaci co praktycznie oznacza zbiór wszystkich uporządkowanych par gdzie jest wartością funkcji dla argumentu

Zbiór takich par tworzy w układzie współrzędnych wykres funkcji

Zauważ, że w podanym przykładzie wykres będzie nieskończonym zbiorem punktów zaznaczonych w prostokątnym układzie współrzędnych leżących na paraboli w prawej półpłaszczyżnie o współrzędnych

Przekształcanie wykresów funkcji

Znając wykres funkcji mamy za zadanie narysowanie wykresów, które uzyskujemy przy użyciu pewnych przekształceń geometrycznych.

Przesunięcia punktów wzdłuż osi układu współrzędnych

W wyniku przesunięcia punktu w układzie współrzędnych uzyskujemy punkt który nazywamy obrazem punktu

Przesuńmy wzdłuż osi punkty
o jednostki
o jednostki
Jakie obrazy otrzymamy?

Rozwiązanie.

Przesunięcie o jednostki wzdłuż osi oznacza zaznaczenie punktu na prawo od danego punktu w linii równoległej do osi

Obrazami punktów w tym przekształceniu są

Odczytujemy współrzędne

Uzyskane punkty mają drugie współrzędne (rzędne) takie same, a pierwsze (odcięte) zwiększone o

Przesunięcie o jednostki wzdłuż osi oznacza zaznaczenie punktu na lewo od danego punktu w linii równoległej do osi

Obrazami punktów w tym przekształceniu są

Odczytujemy współrzędne

Uzyskane punkty mają drugie współrzędne (rzędne) takie same, a pierwsze (odcięte) zmniejszone o

Po przesunięciu punktu wzdłuż osi o jednostek, liczbę dodajemy do odciętej punktu i otrzymujemy jako obraz punkt gdzie

Jeśli przesuwamy w prawo. Jeśli przesuwamy w lewo.

Znane są punkty

Podaj regułę, wg której po przesunięciu wzdłuż osi uzyskamy z powrotem punkty

Skorzystaj z rysunku podanego w przykładzie powyżej.

Rozwiązanie.

Korzystając z rysunku zauważamy, że odcięte punktów należy zmniejszyć o aby uzyskać punkty

Współrzędne punktu który po przesunięciu wzdłuż osi o jednostek pokrywa się z punktem obliczamy ze wzorów

Rozwiązanie.

Przesunięcie o jednostki wzdłuż osi oznacza przeniesienie punktu do góry względem danego punktu w linii równoległej do osi

Obrazami punktów w tym przekształceniu są

Odczytujemy współrzędne

Uzyskane punkty mają odcięte takie same, a rzędne zwiększone o

Przesunięcie o jednostki wzdłuż osi oznacza przeniesienie punktu do dołu względem danego punktu w linii równoległej do osi

Punkty w tym przekształceniu zostały przesunięte do

Odczytujemy współrzędne

Uzyskane punkty mają odcięte takie same, a rzędne zmniejszone o

Po przesunięciu punktu wzdłuż osi o jednostek liczbę dodajemy do rzędnej punktu i otrzymujemy punkt gdzie

Jeśli przesuwamy do góry. Jeśli przesuwamy do dołu.

Podaj regułę, wg której po przesunięciu wzdłuż osi uzyskamy z powrotem punkty

Skorzystaj z rysunku do poprzedniego przykładu.

Rozwiązanie.

Korzystając z rysunku zauważamy, że rzędne punktów należy zmniejszyć o aby uzyskać punkty

Współrzędne punktu który po przesunięciu wzdłuż osi o jednostek pokrywa się z punktem obliczamy ze wzorów

Przesunięcia wykresów funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych

Dany jest na rysunku wykres funkcji i dwa wykresy

Który z wykresów funkcji czy jest uzyskany z przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi a który wzdłuż osi i o ile jednostek?

Rozwiązanie.

Wykresy funkcji są figurami przystającymi, każdy jest łamaną zbudowaną z dwóch odcinków.

Wykresy dwóch funkcji wskazują, że funkcje mają taką samą dziedzinę, jeden z nich jest krzywą uzyskaną z przesunięcia do dołu, wzdłuż osi o wykresu Każdy punkt wykresu funkcji ma rzędną zmniejszoną o w stosunku do rzędnej odpowiedniego punktu wykresu funkcji

Wniosek 1
Dla funkcji uzyskanej z przesunięcia do dołu o wzdłuż osi można zauważyć, że wartości funkcji są mniejsze o od wartości funkcji dla tych samych argumentów

Zatem dla

Krzywą można uzyskać z przesunięcia wykresu funkcji w pierwszym etapie wzdłuż osi do dołu o a w drugim etapie wzdłuż osi o w prawo.

I etap
Po przesunięciu do dołu wzdłuż osi z wykresu funkcji uzyskamy wykres funkcji

dla

II etap
Zaznaczmy wykresy funkcji na osobnym rysunku.

Wniosek 2
Zauważmy, że obie funkcje mają te same wartości funkcji dla argumentów różniących się o

I tak

Zatem można napisać wzór na w zależności od

Zauważ, że efekt uzyskania wykresu funkcji w wyniku przesunięć wykresu funkcji uzyskamy taki sam jeśli w pierwszym etapie krzywą przesuniemy w prawo wzdłuż osi o i w drugim etapie uzyskany wykres przesuniemy o wzdłuż osi

Z wykresów funkcji podanych na rysunku wybierz ten, który można otrzymać z przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych .

Rozwiązanie.

Każdy wykres na rysunku jest prostą, ale tylko dwa są do siebie równoległe.

Z rysunku można zauważyć, że każdy punkt wykresu można przesunąć o do góry wzdłuż osi i otrzymać prostą Proste te są do siebie równoległe.

Można zapisać, że z przesunięcia o wzdłuż osi

Prostej nie uzyskamy przesuwając wykres funkcji wzdłuż osi lub wzdłuż osi Potrzebujemy do tego wykorzystać inne przekształcenie geometryczne np. obrót.

Zauważ, że prostą można uzyskać z przesunięcia wykresu w lewo wzdłuż osi o Zatem można zapisać w postaci

Przedstawienie funkcji w postaci dwóch związków z funkcją sprawdzimy na podstawie wzoru funkcji

Otóż

Wtedy   daje wzór  czyli 

Podobnie   daje wzór  czyli

Jakiego przekształcenia dokonać, aby z wykresu funkcji otrzymać wykresy funkcji z podanego rysunku?

Podaj wzory funkcji przy pomocy Ustal miejsca zerowe funkcji i podaj funkcję, dla której miejsce zerowe możesz odczytać znając miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji jest argumentem, dla którego wartość funkcji jest równa

Dla funkcji   liczba jest miejscem zerowym, gdy

Np. dla funkcji liczba jest miejscem zerowym, bo

Na rysunku wykres funkcji leży na prawo od wykresu funkcji a wykres funkcji poniżej wykresu

Wszystkie wykresy są figurami przystającymi.

Wykres funkcji jest otrzymany z przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi o jednostki w prawo, zatem wzór funkcji zapisany przy pomocy funkcji ma postać

Wykres funkcji jest otrzymany z przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi o jednostkę do dołu, zatem wzór funkcji zapisany przy pomocy funkcji ma postać

Ustalamy miejsca zerowe funkcji

• Dla funkcji

• Dla funkcji

I warto zauważyć, że

oznacza wobec

równanie

Ponieważ funkcja przyjmuje wartość dla argumentu to

Zatem miejsce zerowe funkcji można odczytać znając miejsce zerowe funkcji której wykres został przesunięty wzdłuż osi do położenia wykresu funkcji

Wniosek

Jeżeli dane są funkcje oraz jest miejscem zerowym funkcji to miejsce zerowe funkcji jest równe

• Dla funkcji

Z rysunku odczytujemy, że miejscami zerowymi funkcji są liczby

Ze wzoru zauważamy, odczytane miejsca zerowe jako rozwiązania równania są rozwiązaniami równania a nie

Odczytaj z rysunku przesunięcie względem osi układu współrzędnych

wykresu funkcji tak, aby otrzymać wykres funkcji i podaj wzór na w zależności od
wykresu funkcji tak, aby otrzymać wykres funkcji i podaj wzór na w zależności od
wykresu funkcji tak, aby otrzymać wykres funkcji i podaj wzór na w zależności od

Wykresy funkcji są figurami przystającymi. Każdy wykres jest sumą dwóch odcinków i punktu.

Jeżeli wykres funkcji przesuniemy do góry wzdłuż osi o jednostki

otrzymujemy przesunięcie:
punktu należącego do wykresu funkcji do punktu należącego do wykresu

odcinek o końcach w punktach   przesuwamy tak, że pokryje się z odcinkiem o końcach

odcinek o końcach   przejdzie na odcinek o końcach

Zatem z wykresu funkcji otrzymamy wykres funkcji po przesunięciu wzdłuż osi o do góry.

 

• Wzór funkcji            

 

Wykres funkcji przesuwamy wzdłuż osi w lewo tak, aby np. punkt przekształcić na punkt Przesunięcie jest więc wzdłuż osi o

 

• Wzór funkcji przy pomocy funkcji

Aby z wykresu funkcji otrzymać wykres funkcji można go w pierwszym kroku przesunąć o jednostki do góry wzdłuż osi a w drugim kroku przesunąć o jednostki w lewo wzdłuż osi

I krok
Przesunięcie wykresu funkcji o wzdłuż osi pozwala napisać wzór uzyskanej funkcji, otrzymujemy

II krok
Po przesunięciu wzdłuż osi o punkt wykresu przechodzi na punkt wobec tego trzeba dokonać następnego przesunięcia o   wzdłuż osi

 

Otrzymujemy wtedy wykres funkcji z wykresu

 

• Wzór funkcji

Odp.

Dana jest funkcja w postaci tabeli

Przesuń wykres funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych tak, aby miejsce zerowe funkcji po przesunięciu było

Zbuduj tabelę uzyskanej funkcji.

Miejsce zerowe funkcji jest, jak widać z tabeli, Mamy to miejsce zerowe przesunąć do Jednym z punktów wykresu będzie punkt

Przesunięcie funkcji wzdłuż osi zmienia argumenty funkcji zachowując wartości funkcji, a wzdłuż osi zachowuje argumenty zmieniając wartości funkcji.

Wobec tego należy przesunąć funkcję wzdłuż osi

Istnieje liczba a taka, że funkcja ma miejsce zerowe Zatem

Miejsce zerowe funkcji wobec tabeli, jest jedno, więc

Funkcja po przesunięciu jest postaci

Budujemy tabelę

Odp.

Podaj jaką postać funkcji otrzymasz po przesunięciu wykresu funkcji

a) o wzdłuż osi
b) o wzdłuż osi i następnie o jednostki w prawo wzdłuż osi
c) w lewo o jednostki wzdłuż osi

Przesuwamy wykres funkcji o   wzdłuż osi co oznacza, że przesunięcie jest w prawo wzdłuż osi, gdyż

A wtedy po przesunięciu otrzymujemy wykres funkcji

 

Przesuwamy wykres funkcji o wzdłuż osi i następnie o jednostki w prawo wzdłuż osi

Dokonujemy przesunięcia o wzdłuż osi otrzymujemy wykres funkcji

Przesuwamy otrzymany wykres o jednostki w prawo wzdłuż osi

i otrzymujemy wykres funkcji

Przesunięcie w lewo o jednostki wzdłuż osi daje wzór funkcji w postaci

Odp. a)   b)   c)

Podaj przesunięcie wykresu funkcji takie, aby otrzymać wykres funkcji

a)
b)
c)

Aby z otrzymać trzeba wykres funkcji przesunąć o jednostki w prawo wzdłuż osi

Aby z otrzymać trzeba wykres funkcji przesunąć o jednostki do dołu wzdłuż osi

Aby z otrzymać trzeba wykres funkcji przesunąć o jednostki w lewo wzdłuż osi czyli o wzdłuż osi a następnie o do dołu wzdłuż osi

Odp. a) O jednostki w prawo wzdłuż osi   b) O jednostki do dołu wzdłuż osi c) O jednostki w lewo wzdłuż osi i o do dołu wzdłuż osi

Wykonaj w kolejności

Krok 1.
Punkty przesuń odpowiednio: do położenia czyli   gdzie oraz podaj jakich przesunięć dokonałeś.

Krok 2.
Połącz uzyskane punkty oznaczając je przez aby uzyskać figurę geometryczną

Przesuń ją o najpierw wzdłuż osi a następnie wzdłuż osi

Oznacz figurę po przesunięciu używając zapisów

Podaj długości odcinków

Rozwiązanie.

Krok 1.
Dane punkty

spełniają warunki stąd punkt przesuwamy wzdłuż osi a punkt przesuwamy wzdłuż osi i to w pierwszym przypadku o
do dołu, a w drugim o jednostki w prawo, natomiast punkt trzeba przesunąć wzdłuż osi o jednostki do góry.

Krok 2.
Sporządzamy rysunek i nanosimy oznaczenia

Otrzymaną figurą po połączeniu punktów jest trójkąt prostokątny i po przesunięciu otrzymujemy trójkąt przystający do niego o wierzchołkach

Ustalamy długości odcinków, które są przeciwprostokątnymi odpowiednich trójkątów prostokątnych

- z trójkąta





Podobnie

- odpowiednio z trójkątów

Odp. Krok 1. - wzdłuż osi o -wzdłuż osi o - wzdłuż osi o
Krok 2. Długości odcinków są równe

Na rysunku dane są wykresy

Podaj miejsce zerowe funkcji i punkt przecięcia funkcji z osią

Miejsce zerowe można odczytać z przesunięcia wzdłuż osi a punkt przecięcia wykresu funkcji z przesunięcia wzdłuż osi

Oznaczenie




Z rysunku odczytujemy wartość funkcji dla argumentu i miejsce zerowe funkcji

Zatem podstawiając do wzorów funkcji mamy

Wykres funkcji przecina oś w punkcie a funkcja ma miejsce zerowe

Odp. - miejsce zerowe; - punkt przecięcia z osią

Dana jest funkcja   której wykres zwany parabolą przedstawiono na rysunku.

Punkt przesuwamy o jednostki w prawo wzdłuż osi

Podaj: wzór funkcji po tym samym przesunięciu oraz argument w którym funkcja przyjmuje wartość najmniejszą.

Ustal punkt zwany wierzchołkiem paraboli i przesuń go.

Wobec reguły obraz punktu uzyskany w przesunięciu wzdłuż osi o jednostek ma współrzędne

co dla   daje 

Wzór funkcji   po przesunięciu jest postaci

Punkt po przesunięciu ma obraz

Tak więc argument, dla którego wartość funkcji jest najmniejsza jest

Odp.

Punkty o odciętej o odciętej należą do prostej, która jest wykresem funkcji Prostą przesunięto wzdłuż osi tak aby po przesunięciu przechodziła przez punkt a obrazy punktów oznaczono Oblicz długości odcinków

Długości odcinków oblicz z twierdzenia Pitagorasa tworząc trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnych jeśli nie znasz wzoru na długość odcinka.

Obliczamy rzędne punktów

Punkt ma odciętą równą i rzędną równą

Zatem z trójkąta prostokątnego

Po przesunięciu proste są równoległe, a punkt jest obrazem punktu wspólnego prostej i osi czyli punktu

Zatem wykres funkcji przesunięto o w górę wzdłuż osi

Obliczamy rzędne punktów

Przy przesunięciu wzdłuż osi odcięte punktów się zachowują, zatem

Współrzędne wierzchołka trójkąta prostokątnego obliczamy podobnie jak dla punktu

Z trójkąta

Odp.

Z podanego na rysunku wykresu funkcji po przesunięciu wzdłuż osi i osi otrzymano wykres funkcji Podaj przesunięcia wzdłuż obu osi aby z jednego wykresu otrzymać drugi.

Przesuwamy wykres do położenia

Ustalimy przesunięcie wierzchołka do

Odpowiednie współrzędne tych punktów nie są takie same, a więc trzeba dokonać przesunięcia wzdłuż obu osi.

Aby z punktu otrzymać punkt trzeba przesunąć dany punkt wzdłuż osi do góry i wzdłuż osi w prawo.

Krok 1.
Przesuwamy punkt do góry o wzdłuż osi i otrzymujemy punkt

Z wykresu funkcji

 

otrzymamy wykres funkcji

Krok 2.
Otrzymany punkt ma taką samą drugą współrzędną jak punkt Wobec tego przesuwamy punkt o jednostki w prawo wzdłuż osi

Z wykresu funkcji

otrzymamy przy tym przesunięciu

czyli

Dokonując przesunięcia wykresu wzdłuż osi o a następnie wzdłuż
osi o otrzymujemy wykres funkcji

Przesuwamy wykres do położenia

Wystarczy oczywiście przesunąć o jednostki w lewo wzłuż osi i o jednostki do dołu wzdłuż osi

Zauważ, że każde takie złożenie przesunięć jak w ostatnim zadaniu możesz wykonywać zmieniając kolejność.

Odp. Wykres przesuwamy wzdłuż osi o a następnie wzdłuż osi o i otrzymujemy wykres funkcji
Wykres przesuwamy wzdłuż osi o iwzdłuż osi o do położenia