Ta strona używa plików cookies. Brak zmiany ustawień przeglądarki oznacza zgodę na ich użycie.[close]

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

4.1 Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Mnożenie przez liczbę naturalną. Ułamek danej liczby naturalnej. Mnożenie ułamków zwykłych (także mieszanych).

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

 

Działania dodawania i odejmowania ułamków zwykłych wykonujemy, gdy mianowniki ułamków są takie same.


Zachodzą dwie możliwości: ułamki mają równe mianowniki latex lub różne latex

 

  • Dodajemy i odejmujemy ułamki o równych mianownikach.

Aby dodać (odjąć) ułamki o tych samych mianownikach, dodajemy (odejmujemy) ich liczniki, a mianownik pozostaje bez zmian.

przykład
Wykonaj działania i podaj wyniki.


a) latex     b) latex    c) latex

 

Rozwiązanie.

 

a) latex    

 

b) latex    

 

c) latex

 

Odp. a) latex    b) latex    c) latex

 

przykład
Wykonaj działania i podaj wyniki.

 

a) latex    b) latex     c) latex 

 

Rozwiązanie.

 

a) latex 

 

Zauważ, że w tym przykładzie ułamek latex skróciliśmy latex

 

b) latex


c) latex

 

Odp. a) latex    b) latex    c) latex


stop

W rozwiązaniach powyższych przykładów skorzystaliśmy z następujących pomocy:
1. gdy w odejmowaniu ułamków latex nie można odjąć liczników, odjemną trzeba zapisać w innej postaci latex

2. aby od liczby odjąć ułamek latex odjemną trzeba zapisać w innej postaci latex


show_commercials: 0

Zauważ, że wykonywanie dodawania lub odejmowania z ułamkami mieszanymi latex zaczynamy od działań na liczbach całkowitych latex następnie na ułamkach latex Dokonujemy jeszcze skracania ułamka latex

 

  • Dodajemy i odejmujemy ułamki o różnych mianownikach.

Aby dodać (odjąć) ułamki o różnych mianownikach, trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika. Następnie wykonuje się działania jak w poprzednim przypadku.

Wspólnym mianownikiem ułamków zwykłych o różnych mianownikach jest najmniejsza z liczb, która jest podzielna przez każdy mianownik.

 

latex

 

W powyższym przykładzie wspólnym mianownikiem jest liczba latex ponieważ jest ona podzielna przez latex Liczba latex jest też najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb latex

 

Gdy mianowniki są liczbami pierwszymi względem siebie, czyli nie mają wspólnych dzielników różnych od latex to wyznaczając wspólny mianownik, wystarczy je pomnożyć.

 

latex

 

latex


W powyższych przykładach dla mianowników latex wspólnym mianownikiem jest liczba latex otrzymana z pomnożenia latex a dla mianowników latex - liczba latex

 

przykład
Wykonaj działania na ułamkach o różnych mianownikach i podaj wyniki.

 

a) latex    b) latex   c) latex    d) latex

 

Rozwiązanie.

 

a) latex

 

b) latex


c) latex

 

d) latex

 

Odp. a) latex    b) latex    c) latex    d) latex

 

przykład
Wykonaj działania na ułamkach i podaj wyniki.

 

a) latex    b) latex

 

Rozwiązanie.


W przykładzie a) występuje nawias, należy wykonać najpierw działania w nawiasie. Jednocześnie sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.


W przykładzie b) sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i wykonujemy działania od lewej strony.

 

a) latex

 

b) latex

latex

 

Zauważ, że ułamek mieszany latex zapisaliśmy w postaci latex ponieważ w odejmowaniu latex nie można odjąć liczników.

 

Pamiętamy również o skracaniu ułamków na końcu działania.

 

latex

 

Odp. a) latex    b) latex

 

zadanie
Kasia ma latexzł, a Jola o latexzł mniej. Ile pieniędzy uzbierały razem obie dziewczynki?

dowód
Sposób I

Obliczamy ile pieniędzy ma Jola, wiedząc że ma mniej o latexzł od Kasi. Wykonujemy więc odejmowanie.

 

latex

 

Jola ma latex

 

Obliczymy ile pieniędzy uzbierały obie dziewczynki


latex

 

Obie dziewczynki miały latexzł.

 

Sposób II


Obliczymy ile pieniędzy mają obie dziewczynki, układając jedno działanie. Następnie ustalimy wspólny mianownik i wykonujemy działania, pamiętając o tym, że w pierwszej kolejności musimy wykonać działanie w nawiasie.

 

latex

 

latex

 

Odp.Dziewczynki uzbierały razem latex

zadanie
W sklepie było latex kg cukierków. Pierwszego dnia sprzedano latex kg cukierków, a drugiego o latex kg więcej niż pierwszego dnia. Ile cukierków pozostało?

dowód
Obliczymy ile sprzedano drugiego dnia, wiedząc że sprzedano o latex kg więcej niż pierwszego.

Należy więc wykonać dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

 

latex

 

Drugiego dnia sprzedano w sklepie latex kg cukierków.

 

Następnie obliczamy ile kilogramów cukierków pozostało po dwóch dniach sprzedaży. Ponieważ cukierków ubywało, wykonujemy więc odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

 

latex

 

Odp. W sklepie pozostało latex cukierków.

Mnożenie ułamków

 

  • Mnożymy liczbę naturalną przez ułamek zwykły.

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy zapisać tę liczbę w postaci ułamka i wykonać mnożenie licznika przez licznik, mianownika przez mianownik.

Do prostszego wykonywania takiego mnożenia potrzebujemy skorzystać z pomocy.

 

1. Gdy w licznikach i mianownikach otrzymanych ułamków znajdują się liczby posiadające wspólne dzielniki, wówczas przez nie dzielimy.
2. Bardzo pomocna jest tu umiejętność skracania liczb z licznika z liczbami z mianownika ułamków.

 

Otrzymuje się wówczas inne, mniejsze liczby, które łatwiej jest pomnożyć.

 

stop

Skracanie ułamków to dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę, lub dzielenie liczb w liczniku z odpowiednimi liczbami w mianowniku przez tę samą liczbę.

Np. latex   lub   latex

 

przykład
Wykonaj mnożenie i podaj wyniki.

 

a) latex    b) latex   c) latex    d) latex


Rozwiązanie.

 

a) latex

 

Liczby latex dzielimy przez latex (skracanie) i wpisujemy na ich miejsca odpowiednio liczby latex

 

b) latex

 

Liczby latex są podzielne przez latex więc otrzymujemy liczby latex

 

c) latex

 

Liczby latex dzielimy przez latex więc otrzymujemy liczby latex


d) latex

 

Liczby latex dzielimy przez latex więc otrzymujemy liczby latex

 

Odp. a) latex    b) latex   c)latex    d)latex

 

stop
Zapamiętaj, że skracania dokonujemy tylko przy mnożeniu ułamków

 

latex

 

  • Mnożymy liczbę naturalną przez ułamek mieszany lub odwrotnie.

 

Sposób I

Aby pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek mieszany, należy zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy. Następnie postępujemy tak jak przy mnożeniu przez ułamek zwykły.

stop
Jak zamienia się ułamek mieszany na niewłaściwy? Najłatwiej zobaczyć to na przykładzie.

 

latex- otrzymaliśmy ułamek niewłaściwy.

 

przykład
Wykonaj działania i podaj wyniki.

 

a) latex    b) latex   c) latex    d) latex

 

Rozwiązanie.


a) latex

 

b) latex

 

c) latex

 

d) latex

 

Odp. a) latex    b) latex    c) latex    d) latex

 

stop
Zapamiętaj, że gdy w wyniku działania otrzymujemy ułamek niewłaściwy np. latex to trzeba go zamienić na ułamek mieszany, dzieląc licznik przez mianownik.
Zapisujemy wtedy wynik dzielenia jako liczbę całości, a resztę z dzielenia umieszczamy w liczniku.

 

latex  wtedy wynik jest równy latex

 

Sposób II

 

Istnieje jeszcze drugi sposób - czasami stosowany - na wykonanie mnożenia liczby naturalnej przez ułamek mieszany.

Zapisujemy wtedy ułamek mieszany w postaci sumy dwóch składników.

 

Zapoznaj się z krokami postępowania, aby wykonać to mnożenie

 

latex

 

Ułamek mieszany zapisuje się w postaci sumy liczby naturalnej i ułamka.

 

latex

 

Zatem

 

latex


Stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania).

 

latex 

 

Otrzymujemy

 

latex

 

przykład
Wykonaj mnożenie stosując prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.
Podaj wyniki.

 

a) latex    b) latex    c) latex

 

Rozwiązanie.

 

a) latex

 

b) latex

 

c) latex

 

Odp. a) latex    b) latex   c) latex

 

  • Skracanie przy mnożeniu dowolnych ułamków

 

stop
Gdyby w mnożeniu pojawiły się większe liczby, warto przypomnieć sobie cechy podzielności liczb. Wtedy odpowiednie skracanie ułamków ułatwi wykonanie mnożenia.

 

przykład
Oblicz pamiętając o skracaniu.

 

a) latex    b) latex

 

Rozwiązanie.

 

a) Sposób I


latex  ponieważ

 

latex

 

Sposób II

 

latex  ponieważ

 

latex

 

b) Sposób I


latex  ponieważ

 

latex

 

Sposób II

 

latex   ponieważ

 

latex

 

Odp. a) latex    b) latex

 

Ułamek danej liczby naturalnej.

Aby obliczyć ułamek danej liczby, mnożymy ten ułamek przez tę liczbę.

Pojęcie to często występuje w życiu codziennym np.; część doby, część długości, część pieniędzy, część powierzchni sadu itd.

 

przykład

Oblicz:
a) latex liczby latex    b) latex liczby latex    c) latex kwoty latex

 

d) latex masy latexkg    e) latex długości latexkm    f) latex doby

 

Rozwiązanie.

 

a) latex 

 

b) latex

 

c) latex(zł)

 

d) latex(kg)

 

e) latex(km)

 

f) latex(h)

 

stop

latexgodziny      latex doba latex

 

Odp. a) latex    b) latex    c) latexzł    d) latexkg    e) latexkm    f) latex

 

zadanie

Ania przeznacza latex doby na naukę. Ile to jest godzin ?

dowód
Doba ma latex godziny. Liczba godzin, w czasie których Ania się uczy, to latex liczby latex

latex 

 

Odp. Ania na naukę przeznacza latex godziny w ciągu doby.

zadanie
W klasie jest latex uczniów. latex wszystkich uczniów tej klasy dostała ze sprawdzianu szóstki.
Ilu uczniów otrzymało szóstki a ilu inne oceny ?

dowód
Obliczamy ilu uczniów otrzymało szóstki, czyli latex liczby latex

latex 

 

Dwóch uczniów otrzymało ocenę latex a pozostali - czyli latex uczniów ma inne oceny


latex

 

Odp. Szóstki otrzymało latex uczniów,a inne oceny - latex uczniów.

Mnożymy ułamek przez ułamek

Mnożenie ułamka przez ułamek oznacza pomnożenie licznika jednego ułamka przez licznik drugiego i mianownika przez mianownik

Ułatwienie 1.
Przed wykonaniem mnożenia należy na początku skrócić liczby z liczników z liczbami z mianowników ułamków.


Ułatwienie 2.
Gdyby w mnożeniu pojawiły się liczby mieszane, trzeba je zamienić na ułamki niewłaściwe, skrócić i mnożyć licznik przez licznik, mianownik przez mianownik.

 

przykład

Wykonaj działania:

 

a) latex   b) latex   c) latex   d) latex   

e) latex   f) latex   g) latex   h) latex

 

Rozwiązanie.

 

a) latex - mnożenie

 

b) latex - skracanie i mnożenie

 

c) latex - zamiana ułamka mieszanego na niewłaściwy, skracanie, mnożenie i zamiana ułamka niewłaściwego na mieszany.

 

d) latex

 

e) latex

 

f) latex

 

g) latex

 

h) latex

 

Odp. a) latex    b) latex    c) latex   

d) latex    e) latex    f) latex   

g) latex    h) latex

 

stop

Skracanie dwóch ułamków wykonujemy tylko przy mnożeniu.

zadanie
Dwaj bracia Michał i Filip obliczyli swoje oszczędności. Michał twierdzi, że ma latexzł, a Filip obliczył, że ma latex razy więcej. Ile pieniędzy razem mają bracia?

dowód
Obliczymy, ile oszczędności ma Filip.

latex(zł)

 

Następnie obliczamy, ile razem zaoszczędzili obaj bracia.

 

latex(zł)

 

Odp. Bracia mają w sumie latexzł.

zadanie

Mama kupiła w sklepie latexkg pomarańczy po latexzł za kilogram. W kasie zapłaciła banknotem latex złotowym. Ile reszty otrzymała?

dowód
Obliczamy ile mama wydała pieniędzy za zakup owoców.

latex(zł)

 

Następnie - ile otrzymała reszty w kasie.

 

latex(zł)

 

Odp. Mama otrzymała latexzł reszty.


show_commercials: 0


Do góry ∧

 

arkusze maturalne megamatma