7.1 Tworzenie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Równanie i jego rozwiązanie.
W temacie: Równanie, równość i nierówność … odróżniamy równanie od równości (Sprawdź temat: "Równanie, równość...").
Z równaniem mamy do czynienia, gdy w zapisie ze znakiem równości po lewej lub po prawej stronie występuje litera (litery), którą nazywamy niewiadomą.
W równaniu po obu stronach występuje niewiadoma
Równania są bardzo pomocne przy rozwiązywaniu zadań z treścią, gdyż zapisanie informacji z zadania w formie jednego lub kilku równań pomaga nam zdecydowanie w jego rozwiązaniu. Do tego konieczna jest wiedza o tym, jak należy rozwiązywać równania.
Liczbę rozłóż na dwa czynniki pierwsze wiedząc, że jednym z nich jest liczba
- szukany czynnik
Otrzymujemy równanie
Aby obliczyć czynnik z podanego iloczynu, trzeba iloczyn podzielić przez drugi czynnik.
Liczba jest liczbą pierwszą, bo jest liczbą naturalną większą od
i ma dokładnie dwa dzielniki.
Rozkład na czynniki pierwsze
Odp.
gdzie
są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, co zapisujemy
i czytamy „liczby
należą do zbioru liczb rzeczywistych” (oznaczonego przez
).
O liczbach mówimy, że są współczynnikami tego równania,
- współczynnikiem przy niewiadomej
- wyrazem wolnym.
Napisz równanie pierwszego stopnia jeśli wyraz wolny jest o większy od współczynnika przy niewiadomej, którym jest liczba
Mamy napisać równanie
Wiemy, że
Równanie
Odp.
Która z podanych liczb jest rozwiązaniem równania
-
Sprawdzamy, czy liczba
spełnia to równanie
-
Sprawdzamy liczbę
zauważ, że a to wskazuje, że
nie jest rozwiązaniem.
-
Sprawdzamy liczbę
Rozwiązaniem równania jest bo otrzymaliśmy
Odp.
Aby rozwiązać równanie kierujemy się prawami wynikającymi z własności dla równości liczb.
Własności równości liczb
Z tego, że wynika
Własności równań
- wykonując wskazane działania po obu stronach równania
- dodając tę samą liczbę do obu stron równania lub dodając wyrażenie ze znakiem przeciwnym występujące po jednej ze stron równania (przenosimy na drugą stronę równania)
- odejmując tę samą liczbę od każdej strony równania
- mnożąc obie strony równania przez tę samą liczbę różną od zera
- dzieląc obie strony równania przez tę samą liczbę różną od zera
Doprowadź podane równanie do równania stopnia pierwszego i rozwiąż je:
Wykonujemy działania po obu stronach równania
Dodajemy do obu stron równania wyrażenie , czyli przenosimy
na lewą stronę (ze znakiem przeciwnym)
Odejmujemy to
Otrzymaliśmy równanie stopnia pierwszego.
Przenosimy na drugą stronę równania ze znakiem przeciwnym czyli dodajemy
do obu stron
Dzielimy obie strony równania przez
Sprawdzenie
Sprawdzamy czy liczba spełnia dane równanie
Lewa strona jest taką samą liczbą jak prawa strona
więc liczba (
jest rozwiązaniem danego równania.
Odp.
gdy
Zauważ, że w równaniu liniowym nie ma warunku Stąd każde równanie pierwszego stopnia jest liniowym.
Rozwiąż równanie przyjmując
kolejno
lub

wartość bezwzględna
jest równa
dla
lub
odejmujemy
aby otrzymać
odejmujemy
Sprawdzenie
Odp.
2. Dla
wartość bezwzględna jest równa
tylko dla liczby
odejmujemy stronami
Sprawdzenie
Odp.
3. Dla
wartość bezwzględna dowolnej liczby jest zawsze dodatnia lub równa
Równanie nie ma rozwiązań, inaczej jest sprzeczne.
Odp. Brak rozwiązań.
sprawdź temat: (sprawdź temat: "Liczby na osi liczbowej...")
Kasia zapłaciła w sklepie za kg jabłek
zł i otrzymała resztę z
zł w postaci
monet po
zł i po
zł. Ile otrzymała monet każdego rodzaju?

- liczba monet pięciozłotowych
- liczba monet dwuzłotowych
Układamy równanie
Wykonujemy działania
odejmujemy od obu stron równania
dzielimy obie strony równania przez
Odp. Kasia otrzymała monet pięciozłotowych i
monet dwuzłotowych.
Zbuduj takie równanie liniowe, aby wyraz wolny był równy a rozwiązaniem równania była liczba
razy większa.

-
Napisz równanie pierwszego stopnia z niewiadomą
w ogólnej postaci.
- Za wolny wyraz wstaw podaną liczbę w zadaniu.
- Ustal jaka liczba ma być rozwiązaniem równania.
-
Wstaw podane rozwiązanie za
.
-
Czy masz równanie
-
Z tego równania oblicz współczynnik przy niewiadomej
- Napisz równanie.
Rozwiązanie.
równanie z niewiadomą
Kolejno: do obu stron równania dodajemy i dzielimy obie strony przez
Szukane równanie
Odp.
Dziewczęta szykowały prezenty dla całej klasy. Kupiły wstążki, aby wykorzystać do opakowania
mniejszych i
większych prezentów. Pocięły wstążkę na kawałki tak, aby wystarczyło na wszystkie paczki i aby długości kawałka krótszego wstążki do dłuższego były w stosunku
Jakie były długości pociętych kawałków wstążek ?
I Sposób
Oznaczenie
- długość dłuższej wstążki
- długość krótszej wstążki
Układamy równanie
Odp.
II Sposób

-
Oznacz przez
długość wspólnej małej części w każdym kawałku.
-
Podaj długości każdego z pojedynczych kawałków wstążki przy pomocy
- Ułóż równanie.
-
Rozwiąż równanie. Czy otrzymałeś
- Oblicz każdą z tych części.
Rozwiązanie.
- długość małej części
- długość mniejszego i większego kawałka wstążki
podzielimy obie strony równania przez
wykonujemy działania
to
Odp.
Adam mieszka w odległości od Michała. Chłopcy ustalali ile czasu zabiera im przejście z jednego domu do drugiego, Adam twierdzi, że drogę do domu Michała pokonuje z prędkością
a Michał, że chodzi wolniej, bo z prędkością
Zapisz związki między danymi w postaci równań stopnia z jedną niewiadomą
gdzie
oznacza czas w godzinach. Podaj współczynniki w tych równaniach.
Zastosujemy wzór na drogę pokonywaną z prędkością
w czasie
- Adam
Otrzymujemy równanie pierwszego stopnia z niewiadomą
Współczynnik przy niewiadomej jest
a wyraz wolny
- Michał
Współczynnik przy niewiadomej jest
a wyraz wolny
zauważ, że w każdym z uzyskanych równań musi być liczba dodatnią,
Suma dwóch liczb jest równa
Ułóż równania pierwszego stopnia do każdego z podanych poleceń:
a) Znajdź te liczby, gdy o jednej wiadomo, że jest razy większa od drugiej.
b) Znajdź te liczby, gdy wiadomo, że jedna z nich jest równa drugiej.
c) Znajdź te liczby, gdy ich różnica jest o mniejsza od sumy.


-
Wprowadź oznaczenia korzystając z informacji o sumie. Pierwsza liczba
a druga … .
- Napisz równanie. Możesz mieć dwie wersje.
-
Doprowadź do postaci równania
stopnia.
-
Jeśli rozwiążesz to otrzymasz
Rozwiązanie.
- pierwsza liczba
- druga liczba
lub
Po przekształceniach
Odp. lub
b)

-
Wprowadź oznaczenia korzystając z tego, że pierwsza liczba
a druga
pierwszej.
- Napisz równanie.
- Zamień procent na liczbę.
-
Doprowadź do postaci równania
stopnia.
-
Jeśli rozwiążesz, to otrzymasz liczby
Rozwiązanie.
- pierwsza liczba
- druga liczba
Odp.
rozwiąż przykład c) takim sposobem jak a).
c)
Rozwiązanie.
- pierwsza liczba
- druga liczba
Odp.
jeśli rozwiążesz równanie otrzymasz odpowiedź, że szukane liczby są równe
Do góry ∧
- Szkoła Podstawowa (4-6)
- 1. Liczby naturalne
- 2. Liczby całkowite
- 3. Ułamki zwykłe i dziesiętne
- 4. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych
- 5. Elementy algebry
- 6. Proste i odcinki
- 7. Kąty
- 8. Wielokąty, koła i okręgi
- 9. Bryły
- 9.1 Figury przestrzenne. Bryły....
- 9.2 Siatki brył: graniastosłup ...
- 9.3 Pole i objętość ...
- 9.4 Zamiana jednostek długości....
- 9.4.2 Obwody wielokątów z ...
- 9.4.3 Podstawowe jednostki pola. ...
- 9.4.4 Pola wielokątów z ...
- 9.4.5 Poznawanie jednostek ...
- 9.4.6 Miary kątów wielokąta. ...
- Klasówki (9)
- 10. Obliczenia praktyczne
- 11. Elementy statystyki opisowej
- 12. Zadania tekstowe
- Klasy IV-VI reforma 2017...
- Wzory
- Nauczyciele
- Wszystkie klasówki (228)
- Szkoła Podstawowa (7-8)
- 1. Liczby wymierne dodatnie
- 1.1 Liczby w systemie rzymskim....
- 1.2 Ułamki zwykłe, rozszerzanie ...
- 1.2.2 Liczby wymierne....
- 1.2.3 Dodawanie i odejmowanie ...
- 1.2.4 Ułamki dziesiętne....
- 1.2.5 Mnożenie i dzielenie liczb ...
- 1.3 Działania na liczbach ...
- 1.4 Działania na ułamkach ...
- 1.5 Zamiana ułamków zwykłych ...
- 1.6 Zamiana ułamków ...
- 1.7 (>R) Zamiana liczby ...
- 1.8 Zaokrąglanie rozwinięć ...
- 1.9 Wartości wyrażeń ...
- 1.10 Zastosowanie zamiany ...
- Klasówki (24)
- 2. Liczby wymierne dowolne
- 3. Potęgi
- 4. Pierwiastki
- 5. Procenty
- 6. Wyrażenia algebraiczne
- 6.1 Zapisywanie i czytanie ...
- 6.2 Wartość liczbowa wyrażenia ...
- 6.3 Redukcja wyrazów podobnych. ...
- 6.4 Dodawanie i odejmowanie sum ...
- 6.5 Mnożenie sum algebraicznych ...
- 6.6 Kwadrat sumy wyrażeń ...
- 6.7 Różnica kwadratów ...
- 6.8 Wyłączanie wspólnego ...
- 6.9 Wyznaczanie podanej ...
- 6.10 (>R) Rozkład wyrażeń ...
- Klasówki (22)
- 7. Równania
- 8. Nierówności
- 9. Wykresy funkcji
- 10. Statystyka
- 10P Prawdopodobieństwo
- 11. Figury płaskie
- 11.1 Kąty utworzone przez prostą ...
- 11.2 Położenie prostej i ...
- 11.3 Wykorzystanie faktu, że ...
- 11.4 (>R) Położenie dwóch ...
- 11.5 Kąty środkowe. (>R) ...
- 11.6 Obliczanie długości okręgu....
- 11.7 Obliczanie długości łuku ...
- 11.8 Obliczanie pola koła....
- 11.9 Obliczanie pola pierścienia ...
- 11.10 Obliczanie pola wycinka ...
- 11.11 Twierdzenie Pitagorasa. ...
- 11.12 Kąty i przekątne w ...
- 11.12.2 Kąty i przekątne w ...
- 11.13 Obliczanie pól i obwodów ...
- 11.14 Zamiana jednostek pola....
- 11.15 (>R) Proporcje i reguła ...
- 11.16 (>R) Twierdzenie Talesa....
- 11.17 Powiększenie lub ...
- 11.18 Stosunek pól wielokątów ...
- 11.19 Wielokąty podobne i ...
- 11.20 Cechy przystawania ...
- 11.21 (>R) Cechy podobieństwa ...
- 11.22 Cechy podobieństwa ...
- 11.23 Figury symetryczne względem ...
- 11.24 Figury symetryczne względem ...
- 11.25 Figury, które mają oś ...
- 11.26 Figury, które mają środek ...
- 11.27 Symetralna odcinka, ...
- 11.28 Dwusieczna kąta, konstrukcja ...
- 11.29 Konstrukcje kątów 60°, ...
- 11.30 Okrąg opisany na ...
- 11.31 Okrąg wpisany w trójkąt, ...
- 11.32 Wielokąty foremne ...
- 11.33 (>R)Symetria w układzie ...
- Klasówki (66)
- 12. Bryły
- 12.1 Graniastosłup prawidłowy....
- 12.2 Ostrosłup prawidłowy....
- 12.3 Obliczanie pól powierzchni i ...
- 12.4 Obliczanie pól powierzchni ...
- 12.5 Obliczanie pól powierzchni i ...
- 12.6 Obliczanie pól powierzchni i ...
- 12.7 Obliczanie pól powierzchni i ...
- 12.8 Zamiana jednostek objętości....
- 12.9 (>R)Przekroje brył....
- Klasówki (18)
- Klasy VII-VIII reforma 2017...
- Program III etap (2012r.)
- Wzory
- Nauczyciele
- Wszystkie klasówki (228)
- 1. Liczby wymierne dodatnie
- Ponadpodstawowa
- 1. Liczby rzeczywiste
- 2. Wyrażenia algebraiczne
- 3. Równania i nierówności
- 3.1 Sprawdzanie czy dana liczba ...
- 3.2 Równania kwadratowe z jedną ...
- 3.3 Nierówności kwadratowe z ...
- 3.4 (R)Wzory Viète'a. ...
- 3.5 (R)Nierówności liniowe i ...
- 3.6 Układy równań pierwszego ...
- 3.7 (R)Układy równań ...
- 3.8 Rozwiązywanie równań typu ...
- 3.9 (R)Nierówności wielomianowe....
- 3.10 (R)Reszta z dzielenia ...
- 3.11 (R)Pierwiastki wymierne ...
- 3.12 (R)Rozwiązywanie równań ...
- 3.13 Rozwiązywanie równań ...
- 3.14 (R)Rozwiązywanie ...
- 3.15 (R)Rozwiązywanie równań i ...
- Klasówki (31)
- 4. Funkcje
- 4.1 Sposoby określania funkcji. ...
- 4.2 Obliczanie wartości funkcji ...
- 4.3 Rysowanie wykresów funkcji ...
- 4.3.2 Rysowanie wykresów funkcji ...
- 4.4 (R)Rysowanie wykresów ...
- 4.4.2 (R)Rysowanie wykresów ...
- 4.4.3 (R)Rysowanie wykresów ...
- 4.5 Wykres funkcji liniowej z ...
- 4.6 Wykres funkcji kwadratowej ze ...
- 4.7 Postać kanoniczna, ogólna i ...
- 4.8 Wartość najmniejsza i ...
- 4.9 Zastosowanie funkcji liniowej ...
- 4.10 Wykresy funkcji ...
- 4.11 (R)Wykresy funkcji ...
- 4.12 Zastosowania funkcji ...
- 4.13 (R)Zastosowania funkcji ...
- 4.14 Wykres funkcji f(x)=a/x, ...
- 4.15 (>R)Wykresy funkcji ...
- 4.16 (R)Wykresy funkcji danych ...
- Klasówki (30)
- 5. Ciągi
- 6. Trygonometria
- 6.1 (R)Miara łukowa kąta a ...
- 6.2 Sinus, cosinus i tangens ...
- 6.2.2 Wyznaczanie wartości funkcji ...
- 6.3 (R)Wyznaczanie wartości ...
- 6.4 Zależności między ...
- 6.5 (R)Okresowość funkcji ...
- 6.6 (R)Funkcje trygonometryczne ...
- 6.7 (R)Sinus sumy i cosinus sumy ...
- 6.8 (R)Równania i nierówności ...
- Klasówki (21)
- 7. Planimetria (Geometria na płaszczyźnie)
- 8. Geometria analityczna (Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej)
- 8.1 Równanie prostej ...
- 8.2 (R)Równoległość i ...
- 8.2.2 (R)Równoległość i ...
- 8.3 Punkt przecięcia dwóch ...
- 8.3.2 Punkt przecięcia dwóch ...
- 8.4 (R)Interpretacja graficzna ...
- 8.5 (R)Odległość punktu od ...
- 8.5.2 (R)Odległość punktu od ...
- 8.6 Obrazy figur w symetrii ...
- 8.7 (R)Współrzędne wektora i ...
- 8.7.2 (R)Współrzędne wektora i ...
- 8.8 (R)Przesunięcie wykresu ...
- Klasówki (26)
- 9. Stereometria
- 10. Elementy statystyki opisowej
- 11. Kombinatoryka i teoria prawdopodobieństwa
- 12. Rachunek różniczkowy
- Program IV etap (2012r.)
- Program reforma 2017...
- Wzory
- Nauczyciele
- Wszystkie klasówki (228)
- Studia
- Wzory matematyczne
- Symbole
- Wiadomości praktyczne
- Wyrażenia algebraiczne
- Logarytmy
- Funkcje
- Trygonometria
- Analiza matematyczna
- Geometria analityczna
- Kombinatoryka
- Rach.prawdopodobieństwa
- Statystyka opisowa
- Planimetria
- Stereometria
- Logika matematyczna
- Algebra zbiorów
- Algebra liniowa
- Tabele
- Wzory do pobrania PDF
- Wzory
- Nauczyciele
- Wszystkie klasówki (228)
- E-BOOKI MegaMatma