MegaMatma: Tworzenie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Równanie i jego rozwiązanie.

Równania

7.1 Tworzenie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Równanie i jego rozwiązanie.

Wstęp

W temacie: Równanie, równość i nierówność … odróżniamy równanie od równości (Sprawdź temat: "Równanie, równość...").

Z równaniem mamy do czynienia, gdy w zapisie ze znakiem równości po lewej lub po prawej stronie występuje litera (litery), którą nazywamy niewiadomą.

W równaniu $2,2-2x=x+6$ po obu stronach występuje niewiadoma $x.$

Równania są bardzo pomocne przy rozwiązywaniu zadań z treścią, gdyż zapisanie informacji z zadania w formie jednego lub kilku równań pomaga nam zdecydowanie w jego rozwiązaniu. Do tego konieczna jest wiedza o tym, jak należy rozwiązywać równania.

przykład
Liczbę $65$ rozłóż na dwa czynniki pierwsze wiedząc, że jednym z nich jest liczba $5.$

$x$ - szukany czynnik

stop

Rozkład na czynniki pierwsze oznacza zapisanie liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Otrzymujemy równanie $65=5\cdot x$

Aby obliczyć czynnik $x$ z podanego iloczynu, trzeba iloczyn podzielić przez drugi czynnik.

$x=65:5$

$x=13$

Liczba $13$ jest liczbą pierwszą, bo jest liczbą naturalną większą od $1$ i ma dokładnie dwa dzielniki.

$13=1\cdot 13$

Rozkład na czynniki pierwsze $65=5\cdot 13$

Odp. $65=5\cdot 13$

Zajmiemy się równaniami pierwszego stopnia z jedną niewiadomą czyli równaniami postaci

$a\cdot x+b=0,\ \ \ a\ne 0$ gdzie $a \ i \ b$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, co zapisujemy $a,b\in R$ i czytamy „liczby $a \ i \ b$ należą do zbioru liczb rzeczywistych” (oznaczonego przez $R$ ).

O liczbach $a \ i \ b$ mówimy, że są współczynnikami tego równania, $a$ - współczynnikiem przy niewiadomej $x, \ \ b$ - wyrazem wolnym.

przykład
Napisz równanie pierwszego stopnia jeśli wyraz wolny jest o $2$ większy od współczynnika przy niewiadomej, którym jest liczba $(-0,41).$

Mamy napisać równanie $ax+b=0$

Wiemy, że $a=-0,41\ne 0$

$b=-0,41+2=1,59$

Równanie $-0,41x+1,59=0$

Odp. $-0,41x+1,59=0$

stop

Aby rozwiązać równanie trzeba znaleźć wszystkie liczby spełniające to równanie tzn. wszystkie rozwiązania równania. Każde równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą ma dokładnie jedno rozwiązanie.

przykład
Która z podanych liczb $-6,\ \frac{2}{3},\ -\frac{1}{6},\ 2$ jest rozwiązaniem równania

$1,2x+0,2=0$

Sprawdzamy, czy liczba $-6$ spełnia to równanie

$1,2\cdot \left(-6\right)+0,2=-7,2+0,2=-7\ne 0$

Sprawdzamy liczbę $\frac{2}{3}$

$1,2\cdot \frac{2}{3}+0,2=0,4\cdot 2+0,2=1\ne 0$

stop
zauważ, że $1,2\cdot \frac{2}{3}+0,2>0,$ a to wskazuje, że $\frac{2}{3}$ nie jest rozwiązaniem.

Sprawdzamy liczbę $-\frac{1}{6}$

$1,2\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)+0,2=-0,2+0,2=0$

Rozwiązaniem równania jest $\left(-\frac{1}{6}\right),$ bo otrzymaliśmy $0.$

Odp. $\left(-\frac{1}{6}\right)$

Aby rozwiązać równanie kierujemy się prawami wynikającymi z własności dla równości liczb.

Własności równości liczb

Dla liczb $a,\ b ,\ c\in R$ zachodzi:

Z tego, że $a=b$ wynika

$a+c=b+c\ \ \ i\ \ \ \ a-c=b-c\ \ \ i\ \ \ a\cdot c=b\cdot c\ \ \ \ i\ \ \ \frac{a}{c}=\frac{b}{c},\ c\ne 0$

Własności równań

Zachowamy wszystkie rozwiązania równania:

wykonując wskazane działania po obu stronach równania
dodając tę samą liczbę do obu stron równania lub dodając wyrażenie ze znakiem przeciwnym występujące po jednej ze stron równania (przenosimy na drugą stronę równania)
odejmując tę samą liczbę od każdej strony równania
mnożąc obie strony równania przez tę samą liczbę różną od zera
dzieląc obie strony równania przez tę samą liczbę różną od zera

przykład
Doprowadź podane równanie do równania stopnia pierwszego i rozwiąż je:

$\frac{4}{5}x-6-2,5=3-0,5x+6,3x$

Wykonujemy działania po obu stronach równania $0,8x-8,5=3+5,8x$

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie $(-5,8x)$ , czyli przenosimy $5,8x$ na lewą stronę (ze znakiem przeciwnym)

$0,8x-8,5-5,8x=3+5,8x-5,8x$

$-5x-8,5=3$

Odejmujemy $3$ to $-5x-11,5=0$

Otrzymaliśmy równanie stopnia pierwszego.

Przenosimy $(-11,5)$ na drugą stronę równania ze znakiem przeciwnym czyli dodajemy $11,5$ do obu stron

$-5x=11,5$

Dzielimy obie strony równania przez $(-5)$

$x=11,5\ :(-5)$

$x=-2,3$

Sprawdzenie
Sprawdzamy czy liczba $(-2,3)$ spełnia dane równanie $\frac{4}{5}x-6-2,5=3-0,5x+6,3x$

$L=\frac{4}{5}\cdot \left(-2,3\right)-8,5=-0,8\cdot 2,3-8,5=-10,34$

$P=3+5,8\cdot \left(-2,3\right)=-10,34$

$L=P$

Lewa strona $L$ jest taką samą liczbą jak prawa strona $P,$ więc liczba ( $-2,3)$ jest rozwiązaniem danego równania.

Odp. $x=-2,3$

Ponieważ funkcja liniowa ma dla $x\in R\$ postać $f(x)=ax+b,\$ gdzie $\ a,b\in R,$ to równaniem liniowym nazywamy równanie

$ax+b=0,\ \ \$ gdy $\ a,\ b\in R\$

Zauważ, że w równaniu liniowym nie ma warunku $a\ne 0.$ Stąd każde równanie pierwszego stopnia jest liniowym.

zadania z rozwiązaniami

zadanie
Rozwiąż równanie $\left|x+2\right|=m$ przyjmując $m$ kolejno $2,\ 0$ lub $(-2).$

1. Dla $m=2$

$\left|x+2\right|=2$ wartość bezwzględna $(x+2)$ jest równa $2$ dla $2$ lub $(-2)$

$x+2=2\ lub\ x+2=-2$

$x+2=2$ odejmujemy $(-2),$ aby otrzymać $x$

$x=2-2$

$x=0$

$x+2=-2$ odejmujemy $(-2)$

$x=-2-2$

$x=-4$

Sprawdzenie

stop
sprawdź temat: (sprawdź temat: "Liczby na osi liczbowej...")

zadanie
Kasia zapłaciła w sklepie za $1$ kg jabłek $4$ zł i otrzymała resztę z $50-u$ zł w postaci $14-u$ monet po $5$ zł i po $2$ zł. Ile otrzymała monet każdego rodzaju?

Oznaczenie

$x$ - liczba monet pięciozłotowych

$(14-x)$ - liczba monet dwuzłotowych

Układamy równanie

$4+5\cdot x+\left(14-x\right)\cdot 2=50$

Wykonujemy działania

$4+5x+28-2x=50$

$3x+32=50$ odejmujemy od obu stron równania $32$

$3x=18/:\ 3$ dzielimy obie strony równania przez $3$

$x=6$

$14-6=8$

Odp. Kasia otrzymała $6$ monet pięciozłotowych i $8$ monet dwuzłotowych.

zadania ze wskazówką

zadanie
Zbuduj takie równanie liniowe, aby wyraz wolny był równy $10,2,$ a rozwiązaniem równania była liczba $2$ razy większa.

Napisz równanie pierwszego stopnia z niewiadomą $x$ w ogólnej postaci.
Za wolny wyraz wstaw podaną liczbę w zadaniu.
Ustal jaka liczba ma być rozwiązaniem równania.
Wstaw podane rozwiązanie za $x$ .
Czy masz równanie $a\cdot \left(20,4\right)+10,2=0\ ?$
Z tego równania oblicz współczynnik przy niewiadomej $x.$
Napisz równanie.

Rozwiązanie.

$ax+b=0\$

$ax+10,2=0$

$2\cdot 10,2=20,4$

$a\cdot \left(20,4\right)+10,2=0$ równanie z niewiadomą $a$

Kolejno: do obu stron równania dodajemy $(-10,2)$ i dzielimy obie strony przez $20,4.$

$a=-\frac{1}{2}$

Szukane równanie $-\frac{1}{2}\cdot x+10,2=0$

Odp. $\ -\frac{1}{2}\cdot x+10,2=0$

zadanie
Dziewczęta szykowały prezenty dla całej klasy. Kupiły $55m$ wstążki, aby wykorzystać do opakowania $15-u$ mniejszych i $15-u$ większych prezentów. Pocięły wstążkę na kawałki tak, aby wystarczyło na wszystkie paczki i aby długości kawałka krótszego wstążki do dłuższego były w stosunku $4:5.$
Jakie były długości pociętych kawałków wstążek ?

I Sposób

Oznaczenie

$x$ - długość dłuższej wstążki

$\frac{4}{5}x$ - długość krótszej wstążki

Układamy równanie $15x+15\cdot \frac{4}{5}x=55$

$15x+12x=55$

$27x=55$

$x\approx 2$

$\frac{4}{5}\cdot 2=1,6$

Odp. $2m,\ 1,\ 6m$

II Sposób

Jeśli stosunek krótszego kawałka wstążki do dłuższego jest $4 : 5,$ to w krótszym mieszczą się $4$ takie same części, a w dłuższym $5.$

Oznacz przez $x$ długość wspólnej małej części w każdym kawałku.
Podaj długości każdego z pojedynczych kawałków wstążki przy pomocy $x.$
Ułóż równanie.
Rozwiąż równanie. Czy otrzymałeś $x\approx 0,4\ ?$
Oblicz każdą z tych części.

Rozwiązanie.

$x$ - długość małej części

$4x\ i\ 5x$ - długość mniejszego i większego kawałka wstążki

$15\cdot 4x+15\cdot 5x=55$ podzielimy obie strony równania przez $5$

$3\cdot 4x+3\cdot 5x=11$ wykonujemy działania

$27x=11$

$x\approx 0,4$ to $4\cdot 0,4=1,6\ \ \ i\ \ \ 5\cdot 0,4=2$

Odp. $2m,\ 1,\ 6m$

zadanie
Adam mieszka w odległości $4,8km$ od Michała. Chłopcy ustalali ile czasu zabiera im przejście z jednego domu do drugiego, Adam twierdzi, że drogę do domu Michała pokonuje z prędkością $4\frac{km}{h},$ a Michał, że chodzi wolniej, bo z prędkością $3,6\frac{km}{h}.$

Zapisz związki między danymi w postaci równań $1-go$ stopnia z jedną niewiadomą $t,$ gdzie $t$ oznacza czas w godzinach. Podaj współczynniki w tych równaniach.

wzór
Zastosujemy wzór na drogę $S$ pokonywaną z prędkością $V$ w czasie $S=V\cdot t$

Adam

$S_A=V_A\cdot t$

$4,8=4\cdot t$

Otrzymujemy równanie pierwszego stopnia z niewiadomą $t$

$4\cdot t-4,8=0$

Współczynnik przy niewiadomej $t$ jest $4,$ a wyraz wolny $\left(-4,8\right).$

Michał

$S_M=V_M\cdot t$

$4,8=3,6\cdot t$

$3,6\cdot t-4,8=0$

Współczynnik przy niewiadomej $t$ jest $3,6,$ a wyraz wolny $\left(-4,8\right).$

stop
zauważ, że w każdym z uzyskanych równań $t$ musi być liczba dodatnią, $t>0.$

już umiesz

zadanie
Suma dwóch liczb jest równa $52,5.$
Ułóż równania pierwszego stopnia do każdego z podanych poleceń:

a) Znajdź te liczby, gdy o jednej wiadomo, że jest $2,5$ razy większa od drugiej.
b) Znajdź te liczby, gdy wiadomo, że jedna z nich jest równa $50\%$ drugiej.
c) Znajdź te liczby, gdy ich różnica jest o $50$ mniejsza od sumy.

Wprowadź oznaczenia korzystając z informacji o sumie. Pierwsza liczba $x,$ a druga … .
Napisz równanie. Możesz mieć dwie wersje.
Doprowadź do postaci równania $1-ego$ stopnia.
Jeśli rozwiążesz to otrzymasz $37,5 \ i \ 15.$

Rozwiązanie.

$x$ - pierwsza liczba

$(52,5-x)$ - druga liczba

$x=2,5\left(52,5-x\right)\ \ \$ lub $\ \ \ 52,5-x=2,5x$

Po przekształceniach

Odp. $3,5x-131,26=0\ \ \$ lub $\ \ 52,5-\ 3,5x=0$

Wprowadź oznaczenia korzystając z tego, że pierwsza liczba $x,$ a druga $50\%$ pierwszej.
Napisz równanie.
Zamień procent na liczbę.
Doprowadź do postaci równania $1-ego$ stopnia.
Jeśli rozwiążesz, to otrzymasz liczby $35 \ i \ 17,5.$