MegaMatma: Macierze i wyznaczniki

Posty bez odpowiedzi

Zadanko z macierzy
Autor	Wątek: Zadanko z macierzy (przeczytano 12657 razy, odpowiedzi 3)
lukas1986 Postów: 6Dołączył: 23.07.2010	22 November, 2010, 00:01:30 Wyznacz macierz X Z tego równania: a) AX = A + B gdzie: $A = \begin{bmatrix}<br /> 1 & 3 &5 \\ <br /> -1&0 &-2 \\ <br /> 1& 1& 1<br /> \end{bmatrix}<br /> \ B = \begin{bmatrix}<br /> -3 & 0 &0 \\ <br /> 0&-3 &0 \\ <br /> 0& 0& -3<br /> \end{bmatrix}<br />$ b) AX = B gdzie: $A = \begin{bmatrix}<br /> 1 & 0 &3 \\ <br /> 2&-1 &0 \\ <br /> -1& 2& 0<br /> \end{bmatrix} \ B = \begin{bmatrix}<br /> 1 & 2 \\ <br /> -3&2 \\ <br /> 1& 1<br /> \end{bmatrix}$ Proszę o pomoc bo już naprawdę długo się męczę z tym zadankiem Zgłoś nadużycie
maciek1986 Postów: 3Dołączył: 20.10.2010	26 November, 2010, 18:52:27 A ja wiem jak obliczyć podpunkt a) :) O to rozwiązanie: Na początku przekształcamy równanie do postaci $A^{-1}AX = A^{-1}(A+B)$ Z czego wychodzi $X = A^{-1}(A+B)$ Także najpierw obliczamy macierz odwrotną do A. Na samym początku wyznaczamy wyznacznik ze wzoru Wyznacznik po obliczeniach według powyższego wzoru wynosi detA = -6 jest on różny od zera więc można przejść do dalszych obliczeń. Następnie obliczamy dopełnienia algebraiczne dla każdego elementu macierzy. Podaje przykład dla pierwszych trzech elementów: $\bar{A}_{11} = (-1)^{1+1} = \begin{vmatrix}<br /> 0 &-2 \\ <br /> 1& 1<br /> \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - (-2\cdot 1)) = 2$ $\bar{A}_{21} = (-1)^{2+1} = \begin{vmatrix}<br /> 3 &5 \\ <br /> 1& 1<br /> \end{vmatrix} = -1 \cdot ((3 \cdot 1) - (5\cdot 1)) = -1 \cdot -2 = 2$ $\bar{A}_{31} = (-1)^{3+1} = \begin{vmatrix}<br /> 3 &5 \\ <br /> 0& -2<br /> \end{vmatrix} = 1 \cdot ((3 \cdot -2) - (5\cdot 0)) = 1 \cdot -6 = -6$ Po obliczeniu wszystkich dopełnien algebraicznych macierz $\bar{A}$ wynosi $\bar{A} = \begin{bmatrix}<br /> 2 &-1 &-1 \\ <br /> 2& -4& 2\\<br /> -6&-3 & 3<br /> \end{bmatrix}$ Następnie obliczamy macierz odwrotną ze wzoru $A^{-1} = \frac{1}{detA}(\bar{A})^{T}$ Wynosi ona $A^{-1} = \frac{1}{-6}\begin{bmatrix}<br /> 2 &2 &-6 \\ <br /> -1& -4& -3\\ <br /> -1& 2 & 3<br /> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}<br /> -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} &1 \\ <br /> \frac{1}{6}& \frac{2}{3} & \frac{1}{2} \\ <br /> \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{2}<br /> \end{bmatrix}$ Mając macierz odwrotną obliczamy sumę A+B a następnie mnożymy tą sumę przez macierz odwrotną $A^{-1}$ $A+B = \begin{bmatrix}<br /> 1 & 3&5 \\ <br /> -1&0 &-2 \\ <br /> 1&1 & 1<br /> \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}<br /> -3 &0 &0 \\ <br /> 0& -3 & 0\\ <br /> 0& 0& -3<br /> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}<br /> -4 & 3 &5 \\ <br /> -1& -3&0 \\ <br /> 1& 1& -2<br /> \end{bmatrix}$ Teraz obliczamy macierz wynikową X : $X = A^{-1} (A+B) = \begin{bmatrix}<br /> -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} &1 \\ <br /> \frac{1}{6}& \frac{2}{3} & \frac{1}{2} \\ <br /> \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{2}<br /> \end{bmatrix} \cdot \<br /> \begin{bmatrix}<br /> -4 & 3 &5 \\ <br /> -1& -3&0 \\ <br /> 1& 1& -2<br /> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}<br /> \frac{8}{3} & 1 & -\frac{11}{3} \\ <br /> -\frac{5}{6} & -1& -\frac{1}{6}\\ <br /> \frac{1}{6} & 1& \frac{11}{6}<br /> \end{bmatrix}$ Zgłoś nadużycie
lukas1986 Postów: 6Dołączył: 23.07.2010	29 November, 2010, 02:17:03 Dzięki wielkie:) A nie rozwiązałbyś podpunktu b? Bo coś mi nie wychodzi Zgłoś nadużycie