MegaMatma: Trygonometria wzory.

Trygonometria wzory.

Wykresy funkcji trygonometrycznych

$f(x)=sin x$	$f(x)=cos x$

$f(x)=tg x$	$f(x)=ctg x$

Rozwiązania podstawowych równań trygonometrycznych, liczba $k\in C$

$\left({sin x}=0\right)\Leftrightarrow \left(x=k\pi \right)$	$\left({cos x}=0\right)\Leftrightarrow \left(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$
$\left({sin x}=1\right)\Leftrightarrow \left(x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$	$\left({cos<br /> x}=1\right)\Leftrightarrow \left(x=2k\pi \right)$
$\left({sin<br /> x}=-1\right)\Leftrightarrow \left(x=\frac{3}{2}\pi +2k\pi \right)$	$\left({cos x}=-1\right)\Leftrightarrow \left(x=\pi +2k\pi \right)$
$\left({tg x}=0\right)\Leftrightarrow \left(x=k\pi \right)$	$\left({ctg x}=0\right)\Leftrightarrow \left(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

${sin \alpha =\frac{a}{c}};\ \ \ \ \ \ tg \alpha =\frac{a}{b}$

${cos \alpha =\frac{b}{c}};\ \ \ \ \ \ ctg \alpha =\frac{b}{a}$

Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów ostrych

$\alpha \ rad$	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{10}$	$\frac{\pi }{8}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{5}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$
${\alpha }^{{}^\circ }$	${15}^{{}^\circ }$	${18}^{{}^\circ }$	${22}^{{}^\circ }{30}^'$	${30}^{{}^\circ }$	${36}^{{}^\circ }$	${45}^{{}^\circ }$	${60}^{{}^\circ }$
${sin \alpha \ }$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
${cos \alpha \ }$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg\alpha$	$2-\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{5\left(5-2\sqrt{5}\right)}}{5}$	$\sqrt{2}-1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$ctg\alpha$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{5\left(5+2\sqrt{5}\right)}}{5}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta (skierowanego)

$sin \alpha =\frac{y}{r};\ \ \ \ \ \ tg\alpha =\frac{y}{x},\ \ x\ne 0$

${cos \alpha =\frac{x}{r}};\ \ \ \ \ \ ctg\alpha =\frac{x}{y},\ \ y\ne 0$

$r=\sqrt{x^2+y^2},\ \ \ \ \left(x,y\right)\ne \left(0,0\right)$

$\alpha ={\alpha }_0+k\cdot 360{}^\circ \;\ \ k\in C\ \ i\ \ {\alpha }_0\in \left\langle 0{}^\circ ;\ \left.360{}^\circ \right),\ \ \ {\alpha }_0$ - miara główna

Własności funkcji trygonometrycznych

Funkcja	Własność	Warunek	Dziedzina
${sin \alpha }$	nieparzysta	$sin \left(-\alpha )=-{sin \alpha }$	$R$
${cos \alpha }$	parzysta	$cos \left(-\alpha )={cos \alpha }$	$R$
$tg\alpha$	nieparzysta	${tg \left(-\alpha \right)=-{tg \alpha }$	$R\backslash<br /> \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,\ \ k\in C\right\}$
$ctg\alpha$	nieparzysta	${ctg \left(-\alpha \right)=-{ctg \alpha \ }$	$R\backslash<br /> \left\{k\pi ,\ \ \ k\in C\right\}$

Okresowość funkcji trygonometrycznych, liczba $k\in C$

Funkcja	Okres podstawowy	Warunek
${sin \alpha }$	$360{}^\circ \left(2\pi \right)$	$\sin \left(\alpha +2k\pi)={sin \alpha\ }$
${cos \alpha }$	$360{}^\circ \left(2\pi \right)$	$\cos \left(\alpha +2k\pi)=cos \alpha\$
$tg\alpha$	$180{}^\circ \ \left(\pi \right)$	${tg \left(\alpha +k\pi \right)={tg \alpha \ }}$
$ctg\alpha$	$180{}^\circ \ \left(\pi \right)$	${ctg \left(\alpha +k\pi \right)={ctg \alpha \ }}$

Jedynki trygonometryczne

${sin}^2 \alpha +{cos}^2 \alpha =1$

$tg \alpha\cdot ctg \alpha =1$

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

$tg \alpha =\frac{{sin \alpha \ }}{{cos \alpha \ }}$

$ctg \alpha =\frac{{cos \alpha \ }}{{sin \alpha }}$

$tg \alpha =\frac{{1 }}{{ctg \alpha }}$

$ctg \alpha =\frac{{1 }}{{tg \alpha }}$

Wzory redukcyjne, Liczba $\pi =180{}^\circ$

$\color {red}\beta$	$\color {red}{sin \beta \ }$	$\color {red}{cos \beta \ }$	$\color {red}tg\ \beta$	$\color {red}ctg\ \beta$
$\color {green}\frac{\pi }{2}-\alpha$	${cos \alpha \ }$	${sin \alpha \ }$	$ctg\ \alpha$	$tg\ \alpha$
$\color {green}\frac{\pi }{2}+\alpha$	${cos \alpha \ }$	$-{sin \alpha \ }$	$-ctg\ \alpha$	$-tg\ \alpha$
$\color {green}3\cdot \frac{\pi }{2}-\alpha$	${-cos \alpha \ }$	$-{sin \alpha \ }$	$ctg\ \alpha$	$tg\ \alpha$
$\color {green}3\cdot \frac{\pi }{2}+\alpha$	$-{cos \alpha \ }$	${sin \alpha \ }$	$-ctg\ \alpha$	$-tg\ \alpha$
$\color {green}2\cdot \frac{\pi }{2}-\alpha$	${sin \alpha \ }$	$-{cos \alpha \ }$	$-tg\ \alpha$	$-ctg\ \alpha$
$\color {green}2\cdot \frac{\pi }{2}+\alpha$	$-{sin \alpha \ }$	${-cos \alpha \ }$	$tg\ \alpha$	$ctg\ \alpha$
$\color {green}4\cdot \frac{\pi }{2}-\alpha$	$-{sin \alpha \ }$	${cos \alpha \ }$	$-tg\ \alpha$	$-ctg\ \alpha$
$\color {green}4\cdot \frac{\pi }{2}+\alpha$	${sin \alpha \ }$	${cos \alpha \ }$	$tg\ \alpha$	$ctg\ \alpha$

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

$\ {sin \left(\alpha +\beta )={sin \alpha \ }{cos \beta +{cos \alpha \ }{sin<br /> \beta \ }\ }\ }$	$\ {sin \left(\alpha -\beta )={sin \alpha \ }{cos \beta -{cos \alpha \ }{sin<br /> \beta \ }\ }\ }$
$\ {cos \left(\alpha +\beta )={cos \alpha \ }{cos \beta -{sin \alpha \ }{sin<br /> \beta \ }\ }\ }$	$\ {cos \left(\alpha -\beta )={cos \alpha \ }{cos \beta +{sin \alpha \ }{sin<br /> \beta \ }\ }\ }$
$tg\ \left(\alpha +\beta \right)=\frac{tg \alpha +tg\beta }{1-tg \alpha\cdot tg \beta<br /> }$	$tg\ \left(\alpha -\beta \right)=\frac{tg \alpha -tg\beta }{1+tg\alpha\cdot tg \beta<br /> }$

Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego

${sin 2\alpha =2{sin \alpha \ }{cos \alpha \ }}$	${cos 2\alpha ={cos}^2\alpha -{sin}^2\alpha =2{cos}^2\alpha -1=1-2{sin}^2\alpha \ }$
$tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-{tg}^2\alpha }$	$ctg2\alpha =\frac{{ctg}^2\alpha -1}{2ctg\alpha }$

Funkcje trygonometryczne kąta potrojonego

${sin 3\alpha ={sin \alpha \left(4{cos}^2\alpha -1\right)={sin \alpha \left(3-4{sin}^2 \alpha \right)\ }\ }\ }$

${cos 3\alpha ={cos \alpha \left(1-4{sin}^2\alpha \right)={cos \alpha \left(4{cos}^2 \alpha -3\right)\ }\ }\ }$

$tg3\alpha =tg\alpha \cdot \frac{3-{tg}^2\alpha }{1-3{tg}^2\alpha }$

Suma i różnica takich samych funkcji trygonometrycznych

${sin \alpha }+{sin \beta }=2{sin{\frac{\alpha +\beta }{2}}}{cos{\frac{\alpha-\beta }{2}}}$	${sin \alpha }-{sin \beta }=2{cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}}{sin{\frac{\alpha-\beta }{2}}}$
${cos \alpha }+{cos \beta }=2{cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}}{cos{\frac{\alpha-\beta }{2}}}$	${cos \alpha }-{cos \beta }=-2{sin{\frac{\alpha +\beta }{2}}}{sin{\frac{\alpha-\beta }{2}}}$
$tg\alpha +tg\beta =\frac{{sin \left(\alpha +\beta)\ }}{{cos \alpha \ }{cos<br /> \beta \ }}$	$tg\alpha -tg\beta =\frac{{sin \left(\alpha -\beta)\ }}{{cos \alpha \ }{cos<br /> \beta \ }}$
$ctg\alpha +ctg\beta =\frac{{sin \left(\alpha +\beta)\ }}{{sin \alpha \ }{sin<br /> \beta \ }}$	$ctg\alpha -ctg\beta =\frac{{sin \left(\beta +\alpha)\ }}{{sin \alpha \ }{sin<br /> \beta \ }}$

Funkcje trygonometryczne połowy kąta

$\left\|{sin{\frac{\alpha }{2}}\ }\right\|=\sqrt{\frac{1-{cos \alpha \ }}{2}}$	$\left\|{cos{\frac{\alpha }{2}}\ }\right\|=\sqrt{\frac{1+{cos \alpha \ }}{2}}$
$\left\|{tg \frac{\alpha }{2}\ }\right\|=\sqrt{\frac{1-{cos \alpha \ }}{1+{cos \alpha<br /> \ }}}$	$\left\|{ctg \frac{\alpha }{2}\ }\right\|=\sqrt{\frac{1+{cos \alpha \ }}{1-{cos \alpha<br /> \ }}}$

Funkcje trygonometryczne wyrażone przez tangens połowy kąta

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {sin \alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1+{tg}^2\frac{\alpha }{2}}\ }$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ {cos \alpha =\frac{1-{tg}^2\frac{\alpha }{2}}{1+{tg}^2\frac{\alpha }{2}}\ }$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ {tg\alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2}}{1-{tg}^2\frac{\alpha }{2}}\ }$

Związki między funkcjami cyklometrycznymi

Dla $x\in \left\langle -1;1\right\rangle$	Dla $x\in \left(-1;1\right)$
${arcsin\ x=-{arcsin \left(-x\right)\ }\ }$ ${arcsin\ x=\frac{\pi }{2}-{arccos x\ }\ }$	${arcsin\ x=arctg\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ }$
${arccos\ x=\pi -{arccos \left(-x\right)\ }\ }$ ${arccos\ x=\frac{\pi }{2}-{arcsin x\ }\ }$	${arccos\ x=arcctg\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ }$
Dla $x\in R$	Dla $x\in R$
$arctg\ x=-arctg\ \left(-x\right)$ $arctg\ x=\frac{\pi }{2}-arcctg\ x$	$arctg\ x=arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

poleć znajomemu drukuj

$\left\|{sin{\frac{\alpha }{2}}\ }\right\|=\sqrt{\frac{1-{cos \alpha \ }}{2}}$	$\left\|{cos{\frac{\alpha }{2}}\ }\right\|=\sqrt{\frac{1+{cos \alpha \ }}{2}}$
$\left\|{tg \frac{\alpha }{2}\ }\right\|=\sqrt{\frac{1-{cos \alpha \ }}{1+{cos \alpha<br /> \ }}}$	$\left\|{ctg \frac{\alpha }{2}\ }\right\|=\sqrt{\frac{1+{cos \alpha \ }}{1-{cos \alpha<br /> \ }}}$

Trygonometria wzory.

Podobne tematy: