1. Wstęp

Teraz, kiedy rozumiemy już pojęcie granicy funkcji, zastanówmy się po raz kolejny nad przykładem przyśpieszającego samochodu. Chcemy wiedzieć, jak zmienia się prędkość samochodu - jak wygląda stosunek przyrostu jej prędkości do czasu.

Przyśpieszenie interpretujemy jako miarę zmienności prędkości.

Po raz kolejny możemy wyobrazić sobie wykres funkcji prędkości samochodu w czasie. Obierzmy dwa punkty na wykresie funkcji i połączmy je linią, która daje obraz przyrostu prędkości w czasie - im większa wartość jej współczynnika kierunkowego, tym szybciej wzrasta prędkość samochodu.

Przysuwając dwa punkty do siebie, otrzymujemy coraz dokładniejszy obraz chwilowego przyśpieszenia, a linia łącząca dwa punkty coraz bardziej pokrywa się ze styczną do wykresu funkcji w jednym z punktów.

Kiedy z kolei narysujemy wykres zmiany przemieszczenia samochodu w czasie, tym razem linia prosta łącząca dwa obrane punkty da nam obraz prędkości pojazdu.

Prędkość interpretujemy jako miarę zmienności przemieszczenia.

Po raz kolejny, przysuwając punkty coraz bliżej do siebie, otrzymamy coraz dokładniejsze przybliżenie wartości prędkości chwilowej samochodu.
Istnieje specjalne matematyczne narzędzie, służące do badania właśnie takich sytuacji. Za każdym razem, gdy chcemy poznać przebieg zmienności funkcji, czyli szybkość zmieniania się wartości funkcji przy zmianie jej argumentów, korzystamy z pochodnej funkcji.

2. Definicja pochodnej funkcji.

Pochodna funkcji względem zmiennej   definiowana jest jako:

Jeśli granica ta istnieje, funkcja nazywana jest różniczkowalną.

Aby znaleźć tę granicę, postępujemy tak jak w przypadku każdej innej funkcji - upraszczamy wyrażenie oraz korzystamy ze znanych zasad operacji na granicach.

Spróbujmy za pomocą definicji obliczyć pochodną poniższej funkcji:

- liczba naturalna większa od

Korzystając z dwumianu Newtona: