Wyobraźmy sobie samochód jadący drogą z pewną prędkością. Znając czas ruchu oraz przebyty dystans bez problemu jesteśmy w stanie obliczyć średnią prędkość samochodu. Wiemy jednak, że w czasie ruchu samochód mógł przyśpieszać lub zwalniać. W jaki sposób możemy więc poznać prędkość chwilową samochodu, zakładając iż nie lubimy patrzeć na licznik?

        Zastanówmy się nad istotą tego problemu - chcemy poznać prędkość chwilową, czyli innymi słowy prędkość średnią, ale w bardzo małej jednostce czasu. Im mniejszy przedział czasu weźmiemy pod uwagę, tym bardziej prędkość średnia będzie zbliżona do prędkości chwilowej. Chcemy wiedzieć, do jakiej wartości dąży prędkość średnia samochodu, gdy wielkość przedziału czasu dąży do zera.
Zachowując tę koncepcję w pamięci, spójrzmy na inny przykład.

Rozważmy pewną krzywą, na przykład tą daną równaniem oraz jej styczną w punkcie W jaki sposób możemy znaleźć współczynnik kierunkowy stycznej, będącej linią prostą? Obierzmy dwa punkty na krzywej, nasz punkt oraz dowolny punkt

Wyobraźmy sobie teraz, że punkt możemy przysuwać coraz bliżej punktu W łatwy sposób możemy teraz obliczyć współczynnik kierunkowy prostej zawierającej punkty jest to stosunek różnicy rzędnych tych punktów do różnicy odciętych tych punktów. Nazwijmy ten iloraz

W poniższej tabeli, uzupełnijmy wartości współczynnika kierunkowego prostej z rysunku przysuwając punkt coraz bliżej do punktu Tabela z uzupełnionymi wartościami znajduje się w dalszej części tekstu, spróbujmy jednak obliczyć je samodzielnie:

	Punkt	Współczynnik kierunkowy

Poniżej znajduje się tabela uzupełniona o wszystkie wartości:

	Punkt	Nachylenie

Obserwując wartość współczynnika kierunkowego prostej możemy wywnioskować, iż dąży ona do gdy punkt przysuwa się coraz bliżej punktu czyli gdy wartość dąży do

Na tym etapie nie będziemy jeszcze tego udowadniać, uznajmy więc za przyjęte, iż faktycznie dla każdej kolejnej wartości bliższej wartość współczynnika zbliża się coraz bardziej do Liczbę nazywamy właśnie granicą i zapisujemy to w sposób następujący:

I czytamy alternatywnie jako:

dąży do gdy dąży do

lub dokładniej:

granica funkcji w punkcie wynosi

1. Definicja granicy funkcji

Jest to nieformalna, słowna definicja, jednakże w zupełności wystarczająca dla naszych rozważań.

Należy wspomnieć, iż oprócz granicy funkcji w punkcie czyli takiej wartości, do której zbliżają się obrazy funkcji, gdy argumenty dążą do możemy również rozważać granicę funkcji w nieskończoności.

Obserwujemy wtedy, do jakiej wartości dążą obrazy funkcji gdy argumenty nieskończenie rosną   lub maleją , zapisując to spostrzeżenie jako:

   lub  
 

2. Jak znajdujemy granice?