MegaMatma: Całki

Całki

1. Wstęp

Wyobraźmy sobie pewną krzywą na płaszczyźnie, którą przedstawia rysunek poniżej:

Krzywa na rysunku jest wykresem pewnej funkcji $y = f(x),$ ciągłej w przedziale $<a; b>.$

Interesuje nas pole powierzchni pod tą krzywą, czyli pole figury ograniczonej krzywą $y = f(x),\ f(x)>0,$ osią $x,$ oraz prostymi $x = a \ i \ x = b.$

W jaki sposób możemy je obliczyć?

Jednym ze sposobów, który można by było wykorzystać, jest podzielenie powierzchni pod funkcją na małe prostokąty, tworząc ‘schodki’.

Im mniejsze poszczególne odcinki podziału przedziału $<a;b>,$ tym dokładniejsze przybliżenie pola powierzchni otrzymalibyśmy sumując pola prostokątów. Ta metoda jest dokładna tylko dla funkcji przedziałami stałych, których wykresy wyglądają jak takie ‘schody’.

W tym celu w matematyce pojawia się pojęcie całki, która definiowana jest jako:

Całkowite pole powierzchni pomiędzy wykresem funkcji $y = f(x)$ na płaszczyźnie $Oxy$ a osią $x,$ zapisywaną jako:

$\int^b_a{f\left(x\right)dx}$

i przyjmującą wartości dodatnie dla powierzchni nad osią $x,\ (f(x)>0),$ a ujemne dla powierzchni pod osią $x,\ (f(x)<0),$ gdzie $x\in \left\langle a;b\right\rangle .$

2. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Obliczanie pola powierzchni pod krzywą za pomocą metody ‘schodków’ jest bardzo uciążliwe i w większości przypadków niedokładne. Czy istnieje łatwiejszy sposób?

Odpowiedzią na to pytanie jest podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, mówiące iż:

Jeśli funkcja $f:\ \left[a;b\right]\to {\mathbb R}$ jest ciągła w przedziale $<a;b>$ i funkcja $F:\ \left\langle a;b\right\rangle \to {\mathbb R}$ jest inną funkcją taką iż, $F^'\left(x\right)=f(x)$ dla każdego $x\in \left\langle a;b\right\rangle ,$ wtedy:

$\int^b_a{f\left(x\right)dx}=F\left(b\right)-F(a)$

Twierdzenie to mówi nam o tym, iż różniczkowanie i całkowanie są operacjami odwrotnymi. Mając daną funkcję $(f(x))$ szukamy jej całki $(F(x)),$ czyli takiej funkcji dla której funkcja podstawowa jest pochodną $(f(x)=F'(x)).$ O funkcji $F(x)$ mówimy, że jest funkcją pierwotną funkcji $f(x).$ Przyjrzyjmy się poniższemu przykładowi:

poleć znajomemu drukuj

Całki

Podobne tematy: